（新课标）2020年高考数学 题型全归纳 数列定义在解题中的潜在功能

数列定义在解题中的潜在功能高考作为一种选拔性考试，在重视基础知识考查的同时，更加重视对应用能力的考查.作为中学数学的重点内容之一，等差（比）数列一直是高考考查时重点，特别是近几年，有关数列的高考综合题，几乎都与等差（比）数列有关.这里我们感兴趣的是等差（比）数列的定义在解题中的潜在功能，即遇到数列问题，特别是证明通项为and 或前n项和首先要证明它是等差（比）数列，必要时再进行适当转化，即将一般数列转化为等差（比）数列.例1.设等差数列的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（ ）.（A）130 （B）170 （C）210 （D）260解 若等差数列前m项、次m项、又次m项和分别为S1，S2，S3，则S1，S2，S3也成等差数列.事实上，所以S1，S2，S3成等差数列.因为30，70，S3m100成等差数列，所以30+S3m100=140，即S3m=210.故应选（C）.例2.设an是等差数列，已知，求等差数列的通项公式. 解 an成等差数列，bn成等比数列,=b1b3.由b1b2b3=,得b2=.从而有b1+b3= ,b1b3=.b1,b3是方程x2+两根.解得或，a1=1,d=2或a1=3,d=2.故an=a1+(n1)d=2n3或an=52n.例3.一个数列an,当n为奇数时, an=5n+1;当n为偶数时,an=2,求这个数列的前2m项的和.解:a1,a3,a5,，a2m1成等差数列，成等比数列，S2m=.例4.设数列前n项和Sn与an的关系是（其中k是与n无关的常数，且k1）.（1）试写出由n,k表示的an的表达式；（2）若，求k的取值范围.解：（1）当n=1时，由,得当n2时，由，得.若k=0，则an=1(n=1)或an=0(n2).若k0,则an是首项为，公比为的等比数列，所以.（2），1，解得k.例5.已知数列an的前n项和的公式是.（1）求证：an是等差数列，并求出它的首项和公差；（2）记，求证：对任意自然数n，都有.证明：（1）当n=1时，；当n2时， =. an是首项为，公差为的等差数列.（2）只要证明bn是首项为,公比为1的等比数列.，和bn是首项为，公比为1的等比数列，.例6.设an是正数组成的数列，其前n项和为Sn，并且对于所有自然数n,an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项.（1）写出数列an的前3项；（2）求数列an的通项公式（写出推证过程）；（3）令，求解 （1），得0；，解得：0)；，解得：0).（2）当n2时，即，即.0,.an是首项为2，公差为4的等差数列，.（3），.例7.已知数列an满足条件：0），且anan1是公比为q(q0)的等比数列.设.（1）求出使不等式成立的q的取值范围；（2）求bn和，其中；（3）设，求数列的最大项和最小项的值.解： （1）0，q0,0,0q .（2）.又是首项为1+r，公比为q的等比数列，.（3）.记，则有c21.故cn的最大项为c21=2.25，最小项为c20=4.例8.设An为数列an前n项的和，数列bn的通项公式为（1）求数列an的通项公式；（2）若，则称d为数列an与bn的公共项.将数列an与bn的公共项，按它们在原数列中的先后顺序排成一个新的数列dn，证明数列dn的通项是（3）设数列dn中的第n项是数列bn中的第r项，Br为数列bn前r项的和，Dn为数列dn前n项的和，Tn=BrDn，求解: （1）当n=1时，由,得a1=3;当n2时，由,得2)an是首项为3，公比为3的等比数列，故（2）证dn是等比数列.显然d1=a3=