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文档简介
一道联赛题的多种证法2020年全国高中数学联赛第13题是关于不等式的证明,原题为:设3/2X5,证明不等式:2 对于熟悉柯西不等式的学生,若对不等式左端稍加变形,这似乎是一道很简单的题目,本文将从考纲要求掌握的方法中归纳出它的一般证法。一、 基本不等式法证法1:由基本不等式知: 2= = =2+=2证法2:由基本不等式,及x5知 2+=(+)+(+) 2+2 =(+)2=22=2证法3:本证法也是联赛提供的标准答案,由基本不等式a2+b22ab及(a+b+c+d)2= a2+b2+c2+d2+2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)4(a2+b2+c2+d2)因此a+b+c+d2(当且仅当a=b=c=d时取等号)取a=b=,c=,d=,则2+2=22因为,不能同时相等,所以2+2二、分析法证:欲证原不等式+2(-)12-x+24(20+x-2)又由基本不等式ab,有22x-3+15-x=12-x故只需证明12-x40+2x-4,而12-x40+2x-4428+3x9x2-136x+4800于是只要证=9x2-136x+480恒大于0(x5) 因为的对轴x=,而区间在x=的左侧,在上单调递减,则 (x),但0,故恒大于0(x5),进而原不等式成立。三、 换元法证:x5,令x=+则有2+=+(对后两项使用基本不等式)(再用基本不等式)=2(而上式等号不能同时成立) 故原不等式成立四、 构造函数法证:构造如下二次函数:=4t2-2(2+)t+(14+x)=2(t-)2+(t-)2+(t-)2 、在内不能相等,=0即2+22五、 导数法新课程中引入了微积分,既显示了对简单性的追求,又拓宽了数学思维的途径。这道题,我们可以利用导数所确定函数的凸性来证明。首先给出凸函数的有关定义与定理凸函数:如果定义在区间上上,且对任意的x1,,x2,以及恒有+(1-)称为上的凸函数。定理:若在(a, b)内0,则在(a, b)为凸的;若在(a, b)内,0,则在(a, b)为凹的。一般地,设在上,0,则对任意x1,i(0,1)i满足=1有证:设=,=-0在(0,+)上是凸函数。即=又2+而+2故原不等式成立以上各种证法依次使用了基本不等式法,配方法,换元法及二次函数的性质,简单,巧妙。证明过程看上去并不难,但必
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