黑龙江省齐齐哈尔市2020届高三数学第二次模拟考试试题（含解析）

齐齐哈尔市2020届高三第二次模拟考试数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】对集合进行化简，分别得到两个集合表示的内容，然后取交集【详解】集合中：，解得，集合中：，即所以故选D项【点睛】本题考查了集合的基本概念，集合的运算，解二次不等式，属于简单题.2.已知复数是纯虚数，其中是实数，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】对复数进行化简，由于为纯虚数，则化简后的复数形式中，实部为0，得到的值，从而得到复数.【详解】 因为为纯虚数，所以，得所以.故选A项【点睛】本题考查复数的四则运算，纯虚数的概念，属于简单题.3.已知双曲线的焦距为，且两条渐近线互相垂直，则该双曲线的实轴长为（ ）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】B【解析】【详解】因为双曲线的两条渐近线为，因为两条渐近线互相垂直，所以，得因为双曲线焦距为，所以由可知，所以，所以实轴长为.故选B项.【点睛】本题考查双曲线的渐近线，实轴长等几何特性，属于简单题.4.已知变量满足约束条件则目标函数的最小值为（ ）A. -9B. -7C. -5D. -3【答案】B【解析】【分析】根据约束条件画出可行域，将目标函数化为斜截式，找到其在轴截距的最小值时，所经过的点，即为最优解，从而得到的最小值.【详解】根据约束条件画出可行域，如图所示，内部（含边界）为可行域，化为，为斜率是的一簇平行线，是其在轴上的截距，当经过点时，截距最小，即最小，解，得，即，此时故选B项.5.函数的图像大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据函数特点，判断奇偶性，再通过函数在时的函数值，进行判断，得到答案.【详解】定义域为，且所以为上的奇函数，A、B排除.当时，分子、分母都为正数，故，排除D项.故选C项.【点睛】本题考查函数的图像与性质，通过排除法进行解题，属于简单题.6.如图所示的程序框图，若输出的，则输入的整数值为（ ）A. 7B. 8C. 9D. 10【答案】C【解析】【分析】根据程序框图的运行，得到每一步的和的值，当停止循环，输出时，此时的用表示，令其等于，得到结果.【详解】执行程序框图，可得，；，；，输出，由得.故选C项.【点睛】本题考查程序框图的运行，根据输出值求输入值，属于简单题.7.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 210B. 208C. 206D. 204【答案】D【解析】【分析】根据三视图还原出原几何体，并得到各棱的长度，通过切割法求出其体积.【详解】由已知中的三视图可得：该几何体是由一个正方体切去一个三棱锥所得的组合体，正方体的边长为6，切去一个三棱锥的底面是直角边长分别为6，6的等腰直角三角形，高为2，故该几何体的体积为.故选D项.【点睛】本题考查三视图还原几何体，切割法求几何体体积，属于简单题.8.德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学届的王子，19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是正十七边形尺规作图之理论与方法，在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法.现有函数，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】通过材料，理解高斯算法，根据高斯算法进行倒序相加，得到答案.【详解】 ，又 ，两式相加可得 .故选A项.【点睛】本题考查对题意的理解，倒序相加法求和，属于简单题.9.在中，角的对边分别为，若的面积，且，则（ ）A. 2B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据三角形面积公式，得到，从而得到，再由余弦定理，求出的值.【详解】由，所以，即由，且 ，由余弦定理得：， .【点睛】本题考查三角形面积公式，同角三角函数关系，余弦定理，属于简单题.10.设函数的部分图象如图所示，则函数的单调增区间为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据图像可得到解析式，再对进行化简，然后求出其单调增区间.【详解】由图像可知，因为，得到代入得，得，取，则所以函数，因此 ，求的单调递增区间，则，得，.故选A项.【点睛】本题考查由部分图像求正弦型函数解析式，诱导公式，辅助角公式，求正弦型函数的单调区间，有一定的综合程度，属于中档题.11.已知若方程有唯一解，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据得到解析式，画出图像，对方程进行整理得，在同一坐标系下画出等号两边的函数图像，则两个函数图像有且仅有一个交点，找到符合要求的位置，得到相应的的范围.【详解】方程进行整理得作出函数的图像，如图所示.直线恒过，即直线绕点旋转，当直线过点时，；当直线与曲线相切时，设切点，则切线斜率为切线方程为代入过点，得解得，此时斜率为可求得.根据图像可知当或时，方程有唯一解. 【点睛】本题考查分段函数的图像，图像的交点与方程的解，利用导数求过一点的函数切线，数形结合的数学思想，属于难题.12.已知椭圆的左，右焦点分别为，过作垂直轴的直线交椭圆于两点，点在轴上方.若，的内切圆的面积为，则直线的方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据内切圆面积，求得半径，然后得到圆心坐标，利用坐标表示出直线，由圆与直线相切，得圆心到直线的距离等于半径，算出，从而确定直线方程.【详解】设内切圆半径为，则， ， ，内切圆圆心为，由知，又，所以方程为，由内切圆圆心到直线距离为，即得，所以方程为.故选D项【点睛】本题考查内切圆的性质，直线的表示，点到直线的距离，属于中档题.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知两个单位向量，的夹角为，.若，则实数_【答案】【解析】【分析】由，得，代入，得到关于的方程，得到的值.【详解】 ， ，而，的夹角为 ，.【点睛】本题考查向量垂直关系的表达，向量数量积运算，属于简单题.14.在4个不同的红球和3个不同的白球中，随机取3个球，则既有红球又有白球的概率为_【答案】【解析】【分析】从7个球里取3个球，共有 种可能的情况，要求既有红球又有白球，可以从反面考虑，即全是红球和全是白球的情况，然后用总数减去这两种情况就是符合要求的，然后再由古典概型公式，得到概率.【详解】从7个球里取3个球，共有 种可能的情况，全是红球的情况有，全是白球的情况有，将这两种情况去掉，就是符合要求的情况，即既有红球又有白球的情况，所以概率为【点睛】本题考查古典概型中从反面考虑的情况，属于简单题.15.若曲线在点处的切线与直线垂直，则函数的最小值为_【答案】4【解析】【分析】对函数求导，代入切点，得到切线斜率，然后利用垂直得到关于的方程，求出，再利用基本不等式，得到最小值.【详解】 ， ，代入切点横坐标得到切线斜率，切线与直线垂直得， .当且仅当时，即时，等号成立故答案为【点睛】本题考查利用导数求函数在某一点的切线，两条直线垂直的转化，基本不等式求和的最小值，属于简单题.16.已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，若平面，则球的表面积为_【答案】【解析】【分析】根据正弦定理可得到的外接圆半径，再利用勾股定理得到球的半径，从而求得球的表面积.【详解】设的外接圆半径，由正弦定理得，由题意知球半径满足，得，球表面积.【点睛】本题考查正弦定理，球的几何性质，球的表面积计算，属于简单题.三、解答题 ：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知等差数列的前项和为，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设为数列的前项和，求满足的最小的值.【答案】（1）；（2）14.【解析】【分析】（1）设出等差数列的基本量，根据条件，得到方程，解出首项和公差，可以得到的通项.（2）根据（1）得到的通项，求出前项和，得到的通项，然后利用裂项相消求和得到，从而求出满足的最小的值.【详解】（1）设等差数列的公差为，由得，由，成等比数列得且，等差数列的通项公式为.（2），由得，的最小值为14.【点睛】本题考查等差数列中基本量的计算，裂项法求数列通项，属于中档题.18.某职业学校有2000名学生，校服务部为了解学生在校的月消费情况，随机调查了100名学生，并将统计结果绘成直方图如图所示.（1）试估计该校学生在校月消费的平均数；（2）根据校服务部以往的经验，每个学生在校的月消费金额（元）和服务部可获得利润（元），满足关系式：根据以上抽样调查数据，将频率视为概率，回答下列问题：（i）将校服务部从一个学生的月消费中，可获得的利润记为，求的分布列及数学期望.（ii）若校服务部计划每月预留月利润的，用于资助在校月消费低于400元的学生，估计受资助的学生每人每月可获得多少元？【答案】（1）680；（2）（i）见解析；（ii）160.【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图，取每组中点和相应的频率计算学生月消费的平均数.（2）（i）根据每个学生在校的月消费金额（元）和服务部可获得利润（元）之间的函数关系，得到获得利润的情况，及每种情况所对应的概率，列出分布列，求出数学期望.（ii）根据（i）中的数学期望，得到校服务部的每月总利润，再求出受资助学生人数，得到受资助的学生每人每月可获得的钱数.【详解】（1）学生月消费的平均数 .（2）（i）月消费值落入区间、的频率分别为0.05、0.80、0.15，因此，即的分布列为1030500.050.800.15的数学期望值.（ii）服务部的月利润为（元），受资助学生人数为，每个受资助学生每月可获得（元）.【点睛】本题考查频率分布直方图计算平均数，求变量的分布列及数学期望，属于简单题.19.如图，在直三棱柱中，分别为，的中点，.（1）求证：；（2）若直线和平面所成角的正弦值等于，求二面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由线线垂直，证明线面垂直，即平面，再证明（2）以点为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，通过法向量之间的夹角余弦值，得到二面角的正弦值.【详解】（1）在直三棱柱中，平面, ，又，且，平面，平面，又平面，.（2）以点为坐标原点，分别以，为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系.设，则，直线的方向向量，平面的法向量，可知，设平面的一个法向量，取，设平面的一个法向量，取，记二面角的平面角为，二面角的正弦值为.【点睛】本题考查通过线面垂直证明线线垂直，通过建立空间直角坐标系，通过法向量求二面角的大小，属于中档题.20.已知抛物线的焦点为，过点，斜率为1的直线与抛物线交于点，且.（1）求抛物线的方程；（2）过点作直线交抛物线于不同于的两点、，若直线，分别交直线于两点，求取最小值时直线的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）直曲联立表示出抛物线弦长，得到关于的方程，求出，得到抛物线的方程.（2）直线与抛物线联立，得到、，再根据题意，得到点和点的坐标，用和表示出，代入、的关系，得到函数，求出最小值.从而得到直线的方程.【详解】（1），直线的方程为，由，联立，得， ， ，抛物线的方程为：.（2）设，直线的方程为：，联立方程组消元得：，. .设直线的方程为，联立方程组解得，又，.同理得. .令，则. .当即时，取得最小值.此时直线的方程为，即.【点睛】本题考查抛物线的弦长，直线与抛物线的位置关系，平面内两点间距离，属于中档题.21.已知函数.（1）若在上恒成立，求实数的取值范围；（2）证明： .【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）通过，求出的单调性，结合，求出的取值范围.（2）由（1）得当，令，得到，再由，然后个不等式相加，证明结论.【详解】（1）的定义域为， .当时，若，则，在上是减函数，所以时，即在上不恒成立.当时，当时，在上是增函数，又，所以.综上所述，所求的取值范围是.（2）由（1）知当时，在上恒成立.取得，所以.令，得，即，所以.上式中，然后个不等式相加，得到.【点睛】本题考查利用导数求函数单调性，恒成立求参数范围，通过函数构造不等式，属于难题.（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；（2）设点在上，点在上，求的最小值以及此时的直角坐标.【答案】（1）：，：；（2），此时.【解析】试题分析：（1）的普通方程为，的直角坐标方程为；（2）由题意，可设点的直角坐标为 到的距离当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.试题解析： （1）的普通方程为，的直角坐标方程为.（2）由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以的最小值即为到的距离的最小值，.当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.考点：坐标系与参数方程.【方法点睛】参数方程与普通方程的互化：把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法；加减消参法；平方和（差）消参法；乘法消参法；混合消参法等把曲线的普通方程化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性注意方程中的参数的变