高考数学冲刺复习 数学精练14

数学精练（14） 1. 复数 A. B. C. D. 2. 若集合，则“”是“”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件3. 已知平面向量满足，且，则向量与的夹角为A. B. C. D. 4. 已知数列的前项和为，且，则 A. B. C. D. 5. 关于两条不同的直线,与两个不同的平面,，下列命题正确的是 A且，则 B且，则C且，则 D且，则6. 已知中心在原点，焦点在轴上的双曲线的离心率，其焦点到渐近线的距离为1，则此双曲线的方程为A B C. D. 7. （本小题满分14分）CAFEBMD 在如图所示的几何体中，四边形为平行四边形， 平面，且是的中点. （）求证：平面； （）求二面角的大小； （）在线段上是否存在一点， 使得与所成的角为？ 若存在，求出的长度；若不 存在，请说明理由.8. （本小题满分13分） 设函数. （）当时，求曲线在点处的切线方程； （）求函数单调区间.9. （本小题满分14分） 已知椭圆的两个焦点分别为，.点与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直. （）求椭圆的方程； （）已知点的坐标为，点的坐标为.过点任作直线与椭圆 相交于，两点，设直线，的斜率分别为，若 ，试求满足的关系式.10（本小题满分13分） 已知各项均为非负整数的数列 ，满足，若存在最小的正整数，使得，则可定义变换，变换将数列变为数列设， （）若数列，试写出数列；若数列，试写出数列； （）证明存在唯一的数列，经过有限次变换，可将数列变为数列； （）若数列，经过有限次变换，可变为数列设，求证，其中表示不超过的最大整数 参考答案 （1）（2）（3）（4）（5）（6）BACBCA7）（本小题满分14分） 证明：（）取的中点，连接.NCAFEBMD在中，是的中点，是的中点，所以， 又因为， 所以且.所以四边形为平行四边形，所以.又因为平面，平面， 故平面. 4分解法二：因为平面，故以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系. 1分 由已知可得 zCAFEBMDxy（）， . 2分设平面的一个法向量是. 由得 令，则. 3分又因为， 所以，又平面，所以平面. 4分（）由（）可知平面的一个法向量是. 因为平面，所以. 又因为，所以平面. 故是平面的一个法向量. 所以，又二面角为锐角， 故二面角的大小为. 10分 （）假设在线段上存在一点，使得与所成的角为. 不妨设（），则. 所以， 由题意得， 化简得， 解得. 所以在线段上不存在点，使得与所成的角为.14分（ 8）（本小题满分13分）解：因为所以. （）当时, , 所以 . 所以曲线在点处的切线方程为. 4分（）因为， 5分 （1）当时,由得；由得. 所以函数在区间单调递增, 在区间单调递减. 6分 （2）当时, 设，方程的判别式 7分 当时，此时. 由得,或； 由得. 所以函数单调递增区间是和, 单调递减区间. 9分 当时，此时.所以， 所以函数单调递增区间是. 10分 当时，此时. 由得； 由得,或. 所以当时,函数单调递减区间是和, 单调递增区间. 12分 当时, 此时，所以函数单调递减区间是. 13分（ 9）（本小题满分14分）解: （）依题意， ， 所以. 故椭圆的方程为. 4分 （）当直线的斜率不存在时，由解得. 不妨设， 因为，又，所以， 所以的关系式为，即. 7分 当直线的斜率存在时，设直线的方程为. 将代入整理化简得，. 设，则,. 9分又，.所以 12分所以，所以，所以的关系式为.13分综上所述，的关系式为. 14分（10）（本小题满分13分）解：（）若，则； ； ； 若，则 ； ； ； 4分（）先证存在性，若数列满足及，则定义变换，变换将数列变为数列：易知和是互逆变换 5分对于数列连续实施变换（一直不能再作变换为止）得 ，则必有（若，则还可作变换）反过来对作有限次变换，即可还原为数列，因此存在数列满足条件下用数学归纳法证唯一性：当是显然的，假设唯一性对成立，考虑的情形假设存在两个数列及均可经过有限次变换，变为，这里，若，则由变换的定义，不能变为；若，则，经过一次变换，有由于，可知（至少3个1）不可能变为所以，同理令，则，所以，因为，故由归纳假设，有，再由与互逆，有，所以，从而唯一性得证 9分（）显然，这是由于若对某个，则