高三数学第一轮复习：数列（一）（理）人教实验A版知识精讲

高三数学第一轮复习：数列（一）（理）人教实验A版【本讲教育信息】一. 教学内容：数列（一）二. 重点、难点：（1）定义：（2）关键量：（3）通项公式：，（4）前n项和：（5） 若 成等差数列 ，成等差数列 ，成等比数列 任意两数有等差中项（6）由递推关系，求（7）由，求【典型例题】例1 等差数列中，求。解：或例2 等差数列中，则= 解：成等差数列， 例3 等差数列共项，所有项之和323，其中奇数项和为171，求 ， 解： 例4 等差数列，前n项和为，且，求。解：例5 数列（1），求的最大值。（2），求的公式。解： ， ， 最大值为例6 求（1）（2）（3）（4）（5）解：（1）等差数列 （2） 叠加：（3）等比数列， （4）相乘： （5） 例7 求（1） （2）（3） （4）解：（1） （2） （3） （4） 或AP 首位 例8 已知数列；（1）求这个数列的第10项；（2）是不是该数列中的项，为什么？（3）求证：数列中的各项都在区间（0，1）内；（4）在区间内有无，数列中的项？若有，有几项？若没有，说明理由。解析：只需设（1）令，得第10项（2）令，得此方程无自然数解，所以不是该数列中的项。（3）证明： 又 （4）令 当且仅当时，上式成立，故区间内有数列中的项，且只有一项为例9 已知，并记。（1）证明：；（2）试确定实数m的取值范围，使得对于一切大于1的自然数，恒成立。解析：（1）证明： （2） 恒成立 又由（1）知为增函数，且 则问题转化为解关于m的不等式令，则有解得且又 即 或解得或例10 等差数列的前n项和记为，已知，。（1）求通项；（2）若，求n。分析：由等差数列的通项公式，列方程组求出和d。解析：（1）由，得方程组解得所以（2）由，得方程解得或（舍去）例11 设为等差数列，为数列的前n项和，已知，为数列的前n项和，求。解析：设等差数列的公差为d，则 ， 即 解得， 是等差数列，首项为，公差为 例12 已知公差大于零的等差数列的前n项和为，且满足，（1）求通项；（2）若数列是等差数列，且，求非零常数c；（3）求的最大值。解析：（1） 为等差数列 又 是方程的两实根又公差 ， （2）由（1）知 ， 是等差数列 即 （c=0舍去）故（3）由（2）得 当且仅当，即时取等号 即的最大值为例13 设是等差数列的前n项的和，已知与的等比中项为，与的等差中项为1，求等差数列的通项。解析：设等差数列的首项为，公差为d，则，前n项和，依题意得 解之得或 或 所求通项公式为或例14 已知数列是等差数列，其前n项和为，。（1）求数列的通项公式；（2）设是正整数，且。证明：。解析：（1）设等差数列的公差是d，依题意得，解得， 数列的通项公式为（2）证明： 又 例15 设无穷等差数列的前n项和为。（1）若首项，公差，求满足的正整数k；（2）求所有的无穷等差数列，使得对于一切正整数k都有成立解析：（1）当时由，得即又，所以（2）设数列的公差为d，则在中分别取，得 即由（1）得或当时，代入（2）得或若，则，从而成立；若，则，由，知，故所得数列不符合题意。当时，代入（2）得，解得或若，则，从而成立；若，则，从而成立综上，共有3个满足条件的无穷等差数列： ：，即0，0，0，； ：，即1，1，1，； ：，即1，3，5，。例16 已知正项数列，其前n项和满足，且成等比数列，求数列的通项。解析： 解之得或又 由得即 当时，则不成等比数列 当时，有 【模拟试题】（答题时间：50分钟）1. 等差数列中，首项，公差，如果，则序号n等于（ ）A. 400B. 401C. 402D. 4032. 等差数列的公差为d，前n项和为，当首项与d变化时，是一个定值，则下列各数中也为定值的是（ ）A. B. C. D. 3. 是各项均为正数的等比数列，是等差数列，且，则有（ ）A. B. C. D. 4. 已知数列的通项公式是，其前n项和，则项数n等于（ ）A. 3B. 4C. 5D. 65. 如果数列的前n项和，那么这个数列（ ）A. 是等差数列但不是等比数列B. 是等比数列但不是等差数列C. 既是等差数列又是等比数列D. 既不是等差数列又不是等比数列6. 某林厂年初有森林木材存量，木材以每年25%的增长率生长，而每年末要砍伐固定的木材量x，为实现经过两次砍伐后的木材的存量增加50%，则x的值是（ ）A. B. C. D. 7. 在数列中，则为（ ）A. 34B. 36C. 38D. 408. 已知等比数列的各项均为正数，数列满足，则数列前n项和的最大值等于（ ）A. 126B. 130C. 132D. 1349. 设等差数列的公差d不为0，若是与的等比中项，则k等于（ ）A. 2B. 4C. 6D. 810. 设数列是首项为m，公比为q的等比数列，是它的前n项和，对任意的，点（ ）A. 在直线上B. 在直线上C. 在直线上D. 不一定在一条直线上11. 已知定义在R上的函数对任意的实数满足关系，数列满足，且对任意，则的值是（ ）A. 4012B. 4014C. 2020D. 202012. 设数列的前n项和为，令，称为数列的“理想数”，已知数列的“理想数”为2020，那么数列的“理想数”为（ ）A. 2020B. 2020C. 2020D. 202013. 若等差数列的前3项和且，则（ ）A. 3B. 4C. 5D. 614. 已知一个等差数列的前9项的算术平均数为10，前10项的算术平均数为11，则此等差数列的公差为（ ）A. 1B. 2C. D. 415. 设等差数列的公差d不为0，若是与的等比中项，则k等于（ ）A. 2B. 4C. 6D. 816. ，满足，则的前10项之和等于（ ）A. B. C. D. 17. 已知等差数列中，公差，则使得前n项和取得最大值的n的值是（ ）A. 4和5B. 5和6C. 6D. 718. 设等差数列的前n项和为，若，则等于（ ）A. 63B. 45C. 36D. 2719. 已知等差数列的前n项和为，且，则过点和的直线的一个方向向量的坐标可以是（ ）A. B. C. D. 20. 若数列的通项公式为，则前n项和为（ ）A. B. C. D. 21. 各项均为正数的等比数列的前n项和为，若，则等于（ ）A. 80B. 30C. 26D. 1622. 一给定函数的图象在下列图中，并且对任意，由关系式得到的数列满足，则该函数的图象是（ ）23. 设，则的值为（ ）A. 0B. 3C. 4D. 随m变化而变化24. 如图，一个粒子的起始位置为原点，在第一象限内的两轴正半轴上运动，在第一秒运动到，而后它接着按图示在x轴、y轴的垂直方向来回运动，且每秒移动一个单位长度，那么经2020秒时，这个粒子所处位置为（ ）A. （44，19）B.