【优化方案】2020高中数学 第3章3.2.1知能优化训练 苏教版选修2-1

1若点A(1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则l的一个单位方向向量为_答案：(1,2,3)2已知平面内两向量a(2,3,1)，b(5,6,4)，则平面的一个法向量是_解析：设平面的法向量n(x，y，z)，则由na0，得2x3yz0.由nb0，得5x6y4z0.解得令z1，得平面的一个法向量是(2,1,1)答案：(2,1,1)3已知a，b分别是直线l1，l2的方向向量，则下列所给的向量中，l1l2的一组是_(填序号)(1)a(2,3，1)，b(6，9,3)；(2)a(5,0,2)，b(0,4,0)；(3)a(2,1,4)，b(6,3,3)解析：(1)中a(2,3，1)，b(6，9,3)，ab.(2)中a(5,0,2)，b(0,4,0)，ab0.(3)中a，b既不共线，数量积也不为0.答案：(4)4若n(2，3,1)是平面的一个法向量，下列所给向量中，能作为平面的法向量的是_(1)(0，3,1)；(2)(2,0,1)；(3)(2，3,1)；(4)(2,3，1)解析：所有与n(2，3,1)共线的向量都是平面的法向量，只有(4)的向量与n(2，3,1)共线答案：(4)一、填空题1已知直线l过点A(1,2,3)，B(2,5,8)，且a(2，m，n)是直线l的方向向量，则mn_.解析：(1,3,5)，由题意知，a.m6，n10.mn16.答案：162已知平面经过点P(1,1,1)，平面的法向量n(1,2,3)，M是平面内的任一点则M点的坐标(x，y，z)满足的关系式为_解析：(x1，y1，z1)，n(1,2,3)是平面的一个法向量，n.从而n0，即(1,2,3)(x1，y1，z1)0.整理，得x2y3z60.答案：x2y3z603平面的一个法向量为(1,2,0)，平面的一个法向量为(2，1,0)，则平面和平面的位置关系是_解析：平面与平面的法向量的数量积为(1,2,0)(2，1,0)2200，所以两个法向量垂直，故两个平面互相垂直答案：垂直4.如图，已知ADB和ADC都是以D为直角顶点的直角三角形，且ADBDCD，BAC60，E为AC的中点，那么以下向量为平面ACD的法向量的为_解析：判断平面ACD的法向量，可以从平面ACD中找出、中的两个向量，分别与选项中的向量求数量积，判断垂直而得；也可以直接利用已知边角关系判断线面垂直设AD1，则BDCD1，因为BDA、ACD为直角三角形，所以ABAC.又因为BAC60，所以BC.所以BCD也是直角三角形(BDCD)，从而可得BD平面ACD.答案：5若直线a和b是异面直线，它们的方向向量分别是(1,1,1)和(2，3，2)，则直线a和b的公垂线的一个方向向量是_解析：设公垂线的一个方向向量是(x，y，z)，则有(x，y，z)(1,1,1)0且(x，y，z)(2，3，2)0，即令x1，得y4，z5.答案：(1,4，5)(答案不惟一)6已知直线l1的方向向量为a(2,4，x)，直线l2的方向向量为b(2，y,2)，若|a|6，且ab，则xy的值是_解析：因为|a|6，所以416x236，即x4，当x4时，a(2,4,4)，由ab0得44y80，解得y3，此时xy431；当x4时，a(2,4，4)，由ab0得44y80，解得y1，此时xy413.综上，得xy3或1.答案：3或17已知(2,2,1)，(4,5,3)，则平面ABC的一个单位法向量是_答案：(，)8已知三点A(1,1,0)，B(1,0,1)，C(0,1,1)，则平面ABC的单位法向量为_解析：设平面ABC的单位法向量为n(x，y，z)，由已知得(0，1,1)，(1,1,0)，(1,0，1)，因为n与，都垂直，所以zy0，yx0，xz0，所以xyz，又因为|n|1，所以1，解得n(，)或n(，)答案：(，)或(，)二、解答题9在正方体ABCDA1B1C1D1中，P是DD1的中点，O为底面ABCD的中心，求证：是平面PAC的法向量证明：如图，建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为2，则A(2,0,0)，P(0,0,1)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，O(1,1,0)，于是(1,1,2)，(2,2,0)，(2,0,1)由于220及220，.ACAPA，平面PAC，即是平面PAC的法向量10已知A(2,2,2)，B(2,0,0)，C(0,2，2)(1)写出直线BC的一个方向向量；(2)设平面经过点A，且BC是的法向量，M(x，y，z)是平面内的任意一点，试写出x，y，z满足的关系式解：(1)B(2,0,0)，C(0,2，2)，(2,2，2)，即(2,2，2)为直线BC的一个方向向量(2)由题意(x2，y2，z2)，平面，AM，.(2,2，2)(x2，y2，z2)0.2(x2)2(y2)2(z2)0.化简得xyz20.11.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ADAA11，AB2，点E为AB的中点，求平面CD1E的一个法向量解：如图，建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，