天津市近五年高考数学概率统计解答题综观 新课标 人教版

天津市近五年高考数学概率统计解答题综观宣城市宣州区孙埠中学 施银山众所周知，我国现行全日制普通高级中学教科书（试验修订本）数学最先是在天津市、江西省和山西省（简称两省一市）进行实验的，他们的实验始于1997年秋季，2000-2020年这两省一市的高考试题采用单独命题（熟称新课程卷）的办法，2020年天津市又自主命题，经过四轮的实验，现已推广到全国20多个省、市（自治区）.新课程恰当精简了传统课程的内容，更新了知识和教学方法，强调灵活性和综合性，重视数学应用.新课程对数学地位的认识提到了一个新的高度：“它的内容、思想、方法和语言已成为现代文化的重要组成部分”，突出了数学这门学科在形成人的综合文化素质中的重要作用.新课程增加了一些新的内容，概率统计就是其中之一，为了支持课改，促进新增内容的教学，它必然成为高考的“热点”，连续五年在解答题中都考到了。下面通过简析新课程卷（本文指理科卷下同）中有关概率统计方面的试题，对把握命题方向，透视命题信息，科学高效地搞好新课程的高考复习，具有十分重要的意义.1（2000年新课程卷第17题）甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个。甲、乙二人依次各抽一题。（I）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？（II）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？解：（I）甲从选择题中抽到一题的可能结果有个，乙依次从判断题中抽到一题的可能结果有个，故甲抽到选择题、乙依次抽到判断题的可能结果有个；又甲、乙依次抽一题的可能结果有个，所以甲抽到选择题、乙依次抽到判断题的概率为，所求概率为； （II）甲、乙二人依次都抽到判断题的概率为，故甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率为，所求概率为。 或 ，所求概率为。 评注：本题是典型的古典概率应用问题，赋予“普法教育”以新的背景；主要考查等可能事件的概率计算及分析和解决实际问题的能力。难度相当于课本题水平，第（II）小问采用两种方法，第一种方法是间接法，利用对立事件的概率，第二种方法利用直接法。2（2001年新课程卷理第18题、文第19题）如图，用A、B、C三类不同的元件连接成两个系统N1、N2.当元件A、B、C都正常工作时，系统N1正常工作；当元件A正常工作且元件B、C至少有一个正常工作时，系统N2正常工作.已知元件A、B、C正常工作的概率依次为0.80，0.90，0.90.分别求系统N1、N2正常工作的概率P1、P2. 解：分别记元件A、B、C正常工作为事件A、B、C，由已知条件 P（A）=0.80, P(B)=0.90, P(C)=0.90.（I）因为事件A、B、C是相互独立的，所以，系统N1正常工作的概率 P1=P（ABC）=P（A）P（B）P（C）=0.800.900.90=0.648. 故系统N1正常工作的概率为0.648.（II）系统N2正常工作的概率 故系统N2正常工作的概为0.792.评注：本题以“控制系统”为背景，将基础知识进行了重组，并让学生横向联系，与物理中的串、并联知识相结合；是对课本第二册（下B）p.131例2的简单拓展、加工而成，未改变原题的思想意图。考查相互独立事件同时发生或互斥事件有一个发生的概率的计算方法，考查运用概率知识解决实际问题的能力合理选择方法是提高解题速度的有效手段，在求“系统N2正常工作的概率”时，可以用两种方法解决：一是将问题分为三类：元件A、B正常工作，元件C不正常工作；元件A、C正常工作，元件B不正常工作；元件A、B、C都正常工作即PP(A)P(B)P()P(A)P(C)P()P(A)P(B)P(C)，这样思考不但容易遗漏第三种情况，忘记不正常工作的元件，而且运算量较大，导致解题错误但若我们合理使用公式，则“系统N2正常工作的概率”可以看成元件A正常工作，元件B、C都不正常工作的对立事件的概率.即PP(A)1P()，这样处理，使运算简捷、合理，并大大降低了计算的出错率3（2002年新课程卷第19题）某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5（相互独立）（）求至少3人同时上网的概率；（）至少几人同时上网的概率小于0.3？解（）方法1：利用分类讨论的思想解决.将“至少3人同时上网的概率”转化为“恰有3人同时上网，恰有4人同时上网，恰有5人同时上网，恰有6人同时上网”等四种情形，即 (0.5)6(0.5)6(0.5)6(0.5)6.方法2：利用逆向思维的思想解决.将“至少3人同时上网的概率”转化为“1减去至多2人同时上网的概率”，即1(0.5)6(0.5)6(0.5)61.（）至少4人同时上网的概率为至少5人同时上网的概率为因此，至少5人同时上网的概率小于0.3.评注：本题以“网络概率”为问题情境，赋予了时代气息；本小题考查相互独立事件同时发生或互斥事件有一个发生的概率的计算方法，考查运用概率知识解决实际问题的能力。数学思想方法作为数学的精髓，历来是高考数学考查的重中之重.它蕴涵在数学知识发生、发展和应用的全过程.在概率统计的内容中蕴涵着丰富的数学思想方法，如分类讨论、逆向思维等.概率统计为人们处理现实数据信息，分析、把握随机事件，提供了强有力的工具（计算随机事件发生的概率、求随机变量的数学期望与方差）.也更加丰富、完善了中学数学思想方法，进一步拓宽了知识的应用空间.4（2020年新课程卷第20题、辽宁卷第20题）A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1，A2，A3，B队队员是B1，B2，B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：对阵队员A队队员胜的概率A队队员负的概率A1对B1A2对B2A3对B3现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设A队、B队最后所得总分分别为、（1）求、的概率分布；（2）求E，E.解：（1）、的可能取值分别为3，2，1，0.，根据题意知+=3，所以 P(=0)=P(=3)=, P(=1)=P(=2)= P(=2)=P(=1)= , P(=3)=P(=0)= . （2）； 因为+=3，所以 评注：本题以“乒乓球赛”为素材，让考生感到真实、亲切.这样的试题体现了数学试卷新的设计理念，尊重不同考生群体思维的差异，贴近考生的实际，体现了人文教育的精神. 考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力.5（2020年天津市理第18题）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量表示所选3人中女生的人数.（1）求的分布列；（2）求的数学期望；（3）求“所选3人中女生人数”的概率. 解：（1）可能取的值为0，1，2。 。所以，的分布列为012P（2）由（1），的数学期望为（3）由（1），“所选3人中女生人数”的概率为评注：本题以“演讲比赛”为题材，与学生的生活实际相联系，考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力.它是由教材例、习题的组合、加工和拓展而成，充分表现出教材的基础作用.复习阶段必须按教学大纲和考试大纲对本部分内容的要求，以课本的例、习题为素材，深入浅出、举一反三地加以类比、延伸和拓展，在“变式”上下功夫，力求对教材内容融会贯通，只有这样，才能“以不变应万变”，达到事半功倍的效果.连续五年高考中，都有概率统计大题目，并非偶然，可能是命题者看到了它能综合考查学生运用所学知识解决实际问题的能力，这正符合新课程强调数学教