数学人教版必修2(B) 圆的方程444

圆的方程教学目标（一）教学知识点圆的一般方程.（二）能力训练要求1.掌握圆的一般方程及一般方程的特点；2.能将圆的一般方程化为圆的标准方程，进而求出圆心和半径；3.能用待定系数法由已知条件导出圆的方程.（三）德育渗透目标1.渗透数形结合思想；2.提高学生解题能力.教学重点圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,方程形式特征：（1）x2和y2的系数相同，不等于0；（2）没有xy这样的二次项.圆心坐标（），半径R为.教学难点方程x2+y2+Dx+Ey+F=0（1）当D2+E2-4F=0时，方程表示一个点（）; (2)当D2+E2-4F0时，方程不表示任何图形；(3)当D2+E2-4F0时，方程表示一个圆.教学方法讨论法与学生展开讨论，从而使学生自己发现规律.教学过程.课题导入上节课，我们学习了圆的标准方程，请同学们回顾一下：生以(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程为：(x-a)2+(y-b)2=r2.师圆的标准方程的特点是很直观地可求出圆心坐标和半径.同学们是否想过将这一方程展开后会是什么样子呢？生将上式展为：x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0.师由于a、b、r均为常数.不妨设，-2a=D,-2b=E,a2+b2-r2=F,则，此方程可写成下面的形式：x2+y2+Dx+Ey+F=0.那么，是不是形如的方程表示的曲线就是圆呢？生甲是.生乙不是.生丙不一定是.师下面我们来讨论一下.首先，我们应该明确.若形如的方程表示的曲线是圆，那么由方程应该可求出圆心和半径.由圆的标准方程，我们可很快捷地求出圆心和半径，此方程与圆的标准方程可互化与否也就意味着此方程表示的曲线是否一定是圆，我们将的左边配方，看情况如何？生配方后整理得：师不难看出，此方程与圆的标准方程的关系.（1）当D2+E2-4F0时，表示以（-，-）为圆心、为半径的圆；（2）当D2+E2-4F=0时，方程只有实数解x=-，y=-，即只表示一个点（-，-）;（3）当D2+E2-4F0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形.综上所述，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的曲线不一定是圆.只有当D2+E2-4F0时，它表示的曲线才是圆，我们把形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的表示圆的方程称为圆的一般方程.圆的一般方程与圆的标准方程比较，圆的标准方程的优点在于它明确地指出了圆心和半径，而 一般方程突出了方程形式上的特点：（1）x2和y2的系数相同，且不等于0；（2）没有xy这样的二次项.但要注意：以上两点是二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的必要条件，但不是充分条件.看来，要想求出圆的一般方程，只要根据已知条件确定三个系数D、E、F就可以了.下面，我们结合一些例题来探讨如何确定圆的一般方程.例求过三点O（0，0），M（1，1），N（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标.分析：据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的一般方程则需确定三个系数，而条件恰给出三点坐标，不妨试着先写出圆的一般方程.解：设所求的圆的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0O、M、N在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于D、E、F的三元一次方程组，即解此方程组，可得：F=0,D=-8,E=6.所求圆的方程为：x2+y2-8x+6y=0由r=得r=5.由得圆心坐标为（4，-3）.或将x2+y2-8x+6y=0左边配方化为圆的标准方程，（x-4)2+(y+3)2=25,从而求出圆的半径r=5，圆心坐标为(4,-3).师请同学们考虑如何先求出圆心坐标和半径，再求出圆的方程.生甲设圆心坐标P(x,y)，根据圆的定义，可得OP=PM=PN.即x2+y2=(x-1)2+(y-1)2=(x-4)2+(y-2)2可解得P(4,-3)，OP=5点P（4，-3）为圆心.圆的半径为5.生乙先求出OM中点E（，），MN中点F（，），再写出OM的垂直平分线PE的直线方程：y-=-（x-）MN的垂直平分线PF的直线方程：y-=-3(x-)联立得解之得则点P（4，-3）为PE、PF的交点，即为圆心，OP=5，即为圆的半径.师上述方法均完全正确，希望同学们都能积极思考.例已知一曲线是与两个定点O（0，0）、A（3，0）距离的比为的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线.分析：在求出曲线方程之前，很难确定曲线类型，所以应按照求曲线方程的一般步骤先将曲线方程求出.解：在给定的坐标系里，设点M（x,y)是曲线上的任意一点，也就是点M属于集合P=M.即,整理得：x2+y2+2x-3=0所求曲线方程即为：x2+y2+2x-3=0.将其左边配方，得(x+1)2+y2=4.此曲线是以点C（-1，0）为圆心，2为半径的圆.如图所示：.课堂练习生回答：1.下列方程各表示什么图形？（1）x2+y2=0;生甲此方程表示一个点O（0，0）.（2）x2+y2-2x+4y-6=0;生乙x2+y2-2x+4y-6=0可化为:(x-1)2+(y+2)2=11此方程表示以点（1，-2）为圆心，为半径的圆.（3）x2+y2+2ax-b2=0生丙x2+y2+2ax-b2=0可化为：(x+a)2+y2=a2+b2此方程表示以(-a,0)为圆心，为半径的圆.2.求下列各圆的半径和圆的坐标：(1)x2+y2-6x=0即(x-3)2+y2=9圆心为（3，0），半径为3.(2)x2+y2+2by=0即x2+(y+b)2=b2圆心为（0，-b），半径为b.（3）x2+y2-2ax-y+3a2=0即(x-a)2+(y-a)2=a2圆心为(a, a),半径为a.课时小结通过本节学习，首先要掌握圆的一般方程.其次，还应注意圆的一般方程与圆的标准方程的互化问题.最后，应根据已知条件与圆的两种形式