结构力学李廉锟 第13章_结构弹性.ppt

第十三章结构弹性稳定,13-7组合压杆的稳定,1.平衡状态的稳定性,结构失稳：结构离开稳定的平稳状态，转入不稳定平衡状态或随遇平衡状态，称为结构失稳或结构屈曲。,2.结构失稳,13-1概述,稳定的平衡状态不稳定的平衡状态随遇平衡状态,结构失稳的类型：,平衡状态：,第一类失稳第二类失稳,结构稳定分析的目的：防止不稳定的平衡状态或随遇平衡状态发生。,3.第一类失稳(分支点失稳),当F,=,正对称形式失稳,反对称形式失稳,直接比较正对称失稳和反对称失稳的临界荷载,如图所示，临界荷载按由大到小排列，故反对称失稳的临界荷载小于正对称失稳的临界荷载。,等直压杆的临界荷载Fcr,由此，可以比较该刚架正对称失稳和反对称失稳的临界荷载大小。,随弹性支座的刚度k1，k2，k3增加而增大,随杆的截面抗弯刚度EI的增加而增大,随杆长l的增加而减小,13-4用能量法确定临界荷载,1.势能驻值原理,能量法确定临界荷载的理论依据是势能驻值原理。,势能驻值原理：弹性结构处于平衡状态时，对于满足约束及连续条件的所有可能的位移中，只有真实的位移（还须满足平衡条件）使结构的势能为驻值（极值），即结构势能的一阶变分为零。,13-4用能量法确定临界荷载,1.势能驻值原理,结构的势能用Ep表示，结构势能的一阶变分为零，即Ep=0。,势能驻值原理是变形体系虚功原理的另一种表达形式，实质上就是用能量形式表示的平衡条件。,结构的势能（或总势能）Ep，有,其中V结构的应变能,V外力势能，等于外力所作虚功的负值，即,有n个稳定自由度的结构，其独立参数为a1，a2，an。结构的失稳形式由这n个参数决定，故结构的势能则为这n个参数的函数，即Ep=Ep(a1，a2，an)，于是，Ep的变分计算可转换为微分计算。,2.有限自由度的临界荷载,2.有限自由度的临界荷载,给所有参数ai一个任意微小的增量ai（位移的变分），i=1，2，n，则势能Ep的变分Ep为,由势能驻值原理Ep=0，且a1，a2，an的任意性，则必有,2.有限自由度的临界荷载,方程为一组关于a1，a2，an的齐次线性方程。欲使a1，a2，an不全为零（对应失稳后新的平衡形），则方程的系数行列式应等于零，即得稳定方程，由此可计算出临界荷载。,对于单自由度结构，上述方程为,例：用能量法确定图示压杆的临界荷载。,解：结构为单自由度结构，设失稳时杆件的转角为。,弹簧的应变能,荷载作用处的竖向位移,外力势能,例：用能量法确定图示压杆的临界荷载。,因此，结构势能（总势能）为,由势能驻值原理，得，于是有,为非零解的条件为,故临界荷载为,例：已知AB和BC杆均为刚性，两个弹簧支座的刚度均为k，试用能量法确定结构的临界荷载。,y1,y2,ky1,ky2,EI=,EI=,k,k,A,B,C,解：结构有2个稳定自由度，设失稳时两弹簧的伸长分别是y1，y2，如图所示。,弹簧的应变能,荷载作用处的竖向位移,外力势能,例：已知AB和BC杆均为刚性，两个弹簧支座的刚度均为k，试用能量法确定结构的临界荷载。,y1,y2,ky1,ky2,EI=,EI=,k,k,A,B,C,结构的势能（总势能）为,由势能驻值原理,得,于是有,y1，y2应为非零解，故上式的系数行列式为零，即,展开并整理得,方程的解为,所以，结构的临界荷载为,3.无限自由度（弹性压杆）的临界荷载,图示弹性压杆，截面抗弯刚度EI，失稳时发生弯曲变形（不计轴向变形和剪切变形）。,设失稳后的挠曲线为,杆件发生弯曲变形，其应变能为,而,，故应变能也可写为,3.无限自由度（弹性压杆）的临界荷载,设荷载作用点的竖直方向位移为。杆件微段长度dx，变形后的长度为ds，则变形前后的长度之差为,所以,因而外力势能为,于是，结构的势能为,显然，EP是y的函数，而挠曲线y=y(x)是未知的，故EP是一个泛函。EP=0是对泛函求极值，即泛函的变分法。变分法（变分计算）既复杂且得到的是挠曲线函数y(x)的微分方程，而不是临界荷载。故通常不用变分计算（精确方法），而是使用近似方法，即瑞利李兹法。,瑞利李兹法,假设挠曲线函数y为,式中，,-满足位移边界条件的已知函数，,-任意未知参数（广义坐标）。,这样临界状态的变形形式就由a1，a2，an共n个参数确定，原无限自由度问题近似地简化为n个自由度问题。,若假设的挠曲线函数y只取一项，则简化为单自由度。,瑞利李兹法,讨论,(1)此方法为近似法，所假设的挠曲线与真实挠曲线越接近，误差越小。若假设的挠曲线恰好为真实挠曲线，则结果为精确值。,(2)近似的挠曲线相当于增加了约束，从而增大了结构的刚度，故此种方法求得的临界荷载近似值，总是大于精确值。,(3)给定的函数应满足位移边界条件，最好还能满足力的边界条件。,例：图示为两端铰支的等截面压杆，试用能量法（瑞利李兹法）求其临界荷载。,解：为简单起见，挠曲线函数只取一项，取三种不同的挠曲线分别计算。,挠曲线的位移边界条件,当x=0、l时，y=0,（1）设挠曲线为正弦曲线,满足位移边界条件。,应变能,外力势能,例：图示为两端铰支的等截面压杆，试用能量法（瑞利李兹法）求其临界荷载。,因此，结构的势能,由势能驻值原理，有,因a0，故临界荷载为,结果与静力法求得的精确解相同，这是因为所设的挠曲线正好是真实的挠曲线。,（2）设挠曲线为抛物线,应变能,外力势能,因此，结构的势能,满足位移边界条件,根据势能驻值原理，有，且a0，于是临界荷载,所得结果的误差很大，为21.6%。,（3）设挠曲线为均布荷载作用下的变形曲线,显然满足位移边界条件,应变能,外力势能,因此，结构的势能,由势能驻值原理，有，且a0，故临界荷载,误差很小，仅为0.12%,13-5变截面压杆的稳定,1.阶形杆,工程中常见的两种变截面压杆：阶形杆，截面连续变化。,截面呈阶梯形变化，上、下两段各的平衡微分方程分别是,于是挠曲微分方程为,令,方程解为,挠曲方程y1、y2中共有A1、B1、A2、B2和五个未知数。,由边界条件、得,边界条件,展开并整理得,x=0时，y2=0，x=0时，y2=0，x=l时，y1=，x=l2时，y1=y2，x=l2时，y1=y2。,于是挠曲线y2的表达式为,将挠曲线y1的表达式代入边界条件、并由y2的表达式，可得,故稳定方程为,如果在柱顶受荷载F1，在变截面处受荷载F2作用，用静力法可类似地推导出稳定方程为,式中,2.截面连续变化压杆,压杆的截面惯性矩按幂函数变化，其任一截面的惯性矩为,式中I1为柱顶截面惯性矩，指数m为常数。O点为截面面积为零的点。,柱底截面惯性矩为I2，则由,得,就下端固定上端自由的压杆，无论m为何值，弯矩方程均为,若已知I2/I1及m，就可由上式确定a。,对于外形为直线的圆形截面及矩形或正方形截面，指数m=4。而外形为直线，横截面由四个截面不变的角钢组成的组合压杆，指数m=2。上述两种情况，均有,于是,下面分别讨论m=2和m=4这两种情况。,或,挠曲线微分方程,将t=lnx代入，得挠曲线方程为,令t=lnx，此变系数微分方程可变为常系数微分方程,或,边界条件为当x=a时，y=0；当x=a+l时，y=0。,当m=2时,再令,解方程得,由边界条件推导出稳定方程为,式中,由稳定方程