初中数学总结

中学七年级上册中学七年级上册 第一章第一章 有理数有理数 基础知识基础知识： 1.说说有理数的分类，以及正有理数与负有理数的区别？如何区分正数与负数？ 2.说说数轴的三要素？有理数可以在数轴上的点表示么？数轴上的点都是有理数吗？ 3.相反数的定义？以及正数、负数、0 的相反数都是什么？ 4.什么是倒数、负倒数？倒数是它本身的数有哪些？不存在倒数的数是什么？ 5.绝对值的几何意义是什么？结合数轴说明。 6.有理数的加减运算法则是什么，在进行加减运算时应该注意什么？乘除运算法则？ 7.有理数的乘方：底数、指数、幂的概念？举例说明。 概念判断题概念判断题 1.整数包括负整数和正整数。 2.0 既不是整数，也不是自然数。 3.不存在既不是正数，也不是负数的数。 4.数轴上的点表示的数不都是有理数。 5.有理数可以分为负数、正数和 0。 6.一个数的绝对值一定是非负数。 7.没有最大的正数，也没有最大的负数 8.0 是正数与负数的分界线。 9.存在最大的正整数，但不存在最大的非正整数。 10. 最大的负整数是-1，最小的正整数是 1 11. 符号不同的两个数互为相反数 12. 非负数的相反数是它本身 13. 因为绝对值都是非负数，所以负数不存在绝对值 14.0 是唯一的一个没有倒数的数。 专题专题 一：有理数大小的比较： 1.0 数轴法：就是利用数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大 2.0 利用有理数的法则比较 3.0 分数之间比较大小：a 化成同分子的数比较 b 化成同分母的数比较 例题 1. 若 a0,b|b|,那么 a 与 b 的大小为 ，比较 a+b 与 0 的大小关系 2. 若 a 为有理数，则下面判断肯定的是（） A：若|a|0,则 a0 B:a0,则 a2 a C：a0,则 D:a1,则 3. 已知 a0,a+bb C:ay2 （B）y1 =y2 （C）y1 0 , b0Bk0 , b0Ck0 , b2C0k2D0k2 10、y=kx+k 的大致图象是（ ） A B C D 11、函数 y=kx+2，经过点(1 , 3)，则 y=0 时，x=（ ） A2B2C0D2 12、直线 y=x+1 与 y=2x4 交点在（ ） A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限 13、函数 y=2x+1 的图象经过（ ） A(2 , 0)B(0 , 1)C. (1 , 0)D(, 0) 1 2 14、正确反映，龟兔赛跑的图象是（ ） A BC D 15、三峡工程在 2003 年 6 月 1 日至 2003 年 6 月 10 日下闸蓄水期间，水库水位由 106 米升 至 135 米，高峡平湖初现人间，假设水库水位匀速上升，那么下列图象中，能正确反映这 10 天水位 h（米）随时间 t（天）变化的是： （ ） 三、解答题 1、已知函数 y=(2m2)x+m+1，(1)m 为何值时，图象过原点. (2)已知 y 随 x 增大而增大，函数图象与 y 轴交点在 x 轴上方，求 m 取值范围. 2、已知一次函数图象经过点(3 , 5) , (4，9)两点. (1)求一次函数解析式.(2)求图象和坐标轴围成三角形面积. 3、直线 y=2x+m 和直线 y=3x+3 的交点在第二象限，求 m 的取值范围. 4、等腰三角形周长 40cm.， （1）写出底边长 ycm 与腰 xcm 的函数关系式，画出函数图象 5、甲、乙两人分别骑自行车和摩托车从甲地到乙地 （1）谁出发较早，早多长时间？谁到达乙地早？早多长时间? （2）两人行驶速度分别是多少？ （3）分别求出自行车和摩托车行驶过程的函数解析式？ 6、某地拔号入网有两种收费方式，A 计时制:3 元/时; B 月租制:54 元/月，另加通信费 1.2 元/时，问选择哪种上网方式省钱？ 8、已知函数 y=(2m+1)x+m -3 (1)若函数图象经过原点,求 m 的值，(2) 若函数图象在 y 轴的的焦点纵坐标为2，求 m 的 值 （3）若函数的图象平行直线 y=3x 3，求 m 的值 （4）若这个函数是一次函数,且 y 随着 x 的增大而减小,求 m 的取值范围. 19.如图是某出租车单程收费 y(元)与行驶路程 x(千米)之间的函数关系图象,根据图象回答下 列问题 (1)当行驶 8 千米时,收费应为 元 (2)从图象上你能获得哪些信息?(请写出 2 条) (3)求出收费 y(元)与行使 x(千米)(x3)之间的函数关系式 20.为了加强公民的节水意识,合理利用水资源,各地采用价格调控手段达到节 约用水的目的,某市规定如下用水收费标准:每户每月的用水量不超过 6 立方 米时,水费按每立方米 a 元收费,超过 6 立方米时,不超过的部分每立方米仍按 a 元收费,超过 的部分每立方米按 c 元收费,该市某户今年 9、10 月份的用水量和所交水费如下表所示： 设某户每月用水量 x(立方米),应交水费 y(元) (1) 求 a,c 的值 (2) 当 x6,x6 时,分别写出 y 于 x 的函数关系式 (3) 若该户 11 月份用水量为 8 立方米,求该户 11 月份水费是多少元? 21.一农民带上若干千克自产的土豆进城出售,为了方便,他带了一些零钱备用,按市场价售出 月份用水量(m3)收费(元) 957.5 10927 一些后,又降价出售,售出的土豆千克数与他手中持有的钱数(含备用零钱)的关系,如图所示, 结合图象回答下列问题. (1)农民自带的零钱是多少?(2)试求降价前 y 与 x 之间的关系式 (3)由表达式你能求出降价前每千克的土豆价格是多少? (4)降价后他按每千克 0.4 元将剩余土豆售完,这时他手中的钱(含备用零钱)是 26 元,试问他 一共带了多少千克土豆? 中考连接：23A、B 两地的路程为 16 千米，往返于两地的公交车单程运行 40 分钟某日 甲车比乙车早 20 分钟从 A 地出发，到达 B 地后立即返回，乙车出发 20 分钟后因故停车 10 分钟，随后按原速继续行驶，并与返回途中的甲车相遇图 13 是乙车距 A 地的路程 y (千米)与所用时间 x (分)的函数图象的一部分(假设两车都匀速行驶) 请在图 13 中画出甲车在这次往返中，距 A 地的路程 y (千米)与时间 x (分)的函数图象； 乙车出发多长时间两车相遇？ 星期天，小强骑自行车到郊外与同学一起游玩，从家出发 2 小时到达目的地，游玩 3 小时 后按原路以原速返回，小强离家 4 小时 40 分钟后，妈妈驾车沿相同路线迎接小强，如 图，是他们离家的路程 y(千米)与时间 x(时)的函数图像。已知小强骑车的速度为 15 千 米/时，妈妈驾车的速度为 60 千米/时。 (1)小强家与游玩地的距离是多少？ (2)妈妈出发多长时间与小强相遇？ y/ 16 O -2080604020 x/ 图 13 (第 21 题图) O25C BA D x(时) y(千米) 第十五章第十五章 整式的乘除与因式分解整式的乘除与因式分解 一、同底数幂的乘法： 同底数幂的乘法法则： 同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即 （、都是正整数） 。 注意：（）这一运算性质可推广到三个或三个以上同底数幂相乘，即 （、都是正整数） 。 （）运算性质可以逆运用，即 。 （）幂的底数可以是单项式，也可以是多项式。 二、幂的乘方与积的乘方： （）幂的乘方法则： 幂的乘方，底数不变，指数相乘，即（ ） （、都是正整数） 。 注意：（）不要把幂的乘方性质与同底数幂的乘法性质混淆。幂的乘方运算，是 转化为指数的乘法运算（底数不变） ；同底数幂的乘法，是转化为指数的加法运算（底数不 变） 。 （）此性质可以逆运用，即 （ ） （ ） 。 （）积的乘方法则： 积的乘方，等于各因数乘方的积，即（） （为正整数） 。 注意：（）这一运算性质可推广到三个或三个以上的因数的积的乘方，即 （） （为正整数） 。 （）此性质可以逆运用，即 （） 。 三、同底数幂的除法： 同底数幂的除法法则： 同底数幂相除，底数不变，指数相减，即 （，、为正整 数，且） 。 注意：此性质可以逆运用，即 。 四、零指数幂与负整数指数幂： 在 中，当时，规定 （） 当时，规定 。 （）零指数幂的意义： 任何不等于零的数的零次幂都等于，即 （） 。 （）负整数指数幂的意义： 任何不等于零的数的（为正整数）次幂，等于这个数的次幂的倒数，即 （，为正整数） 。 注意：（）在这两个幂的意义中，强调底数都不等于零，否则无意义。 （）学习零指数幂与负整数指数幂后，正整数指数幂的运算性质推广到整数指 的幂。 五、科学计数法： 利用科学计数法表示绝对值较大的数，即表示成 的形式，为正整数， 。对于一些绝对值较小的数，我们可以仿照绝对值较大数的计法，用 的负整数次幂表示，而将原式写成 的形式，其中为正整数， ，这也称为科学计数法。 六、单项式与单项式相乘： 单项式与单项式相乘的法则： 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含 有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。 七、单项式与多项式相乘： 单项式与多项式相乘的法则： 单项式与多项式相乘，就是根据分配率用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积 相加，即。 注意：单项式乘多项式实际上是用分配率向单项式相乘转化。 八、多项式与多项式相乘： 多项式与多项式相乘的法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得 的积相加，即（） （）。 九、平方差公式： （）内容： （）（） （）意义： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 （）特征： 左边是两个二项式相乘，这两项中有一项相同，另一项互为相反数； 右边是乘式中两项的平方差； 公式中的和可以使有理数，也可以是单项式或多项式。 （）几何意义： 平方差公式的几何意义也就是图形变换过程中面积相等的表达式。 （）拓展： 立方和公式： （） （）； 立方差公式： （） （）。 （） （ ） 。 十、完全平方公式： （）内容： （）； （）。 （）意义： 两数和的平方，等于它们的平方和，加上它们积的倍。 两数差的平方，等于它们的平方和，减去它们积的倍。 （）特征： 左边是一个二项式的完全平方，右边是一个二次三项式，其中有两项是公式左边二 项式中每一项的平方，另一项是左边二项式中两项乘积的倍，可简记为“首平方，尾平 方，积的倍在中央。 ” 公式中的、可以是单项式，也可以是多项式。 （）几何意义： （）推广： （）； （）； （）。 十一、单项式与单项式相除： 单项式与单项式相除的法则： 单项式与单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除 式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。 注意：（）两个单项式相除，只要将系数及同底数幂分别相除即可。 （）只在被除式里含有的字母不不要漏掉。 十二、多项式与单项式相除： 多项式与单项式相除的法则： 一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的 商相加，即（） 。 注意：这个法则的使用范围必须是多项式除以单项式，反之，单项式除以多项式是不 能这样计算的。 十三、整式的混合运算： 关键是注意运算顺序，先乘方，在乘除，后加减，有括号时，先去小括号，再去中括 号，最后去大括号，先做括号里的。 十四、因式分解的意义： 把一个多项式化为几个整式积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做 把这个多项式分解因式，即多项式化为几个整式的积。 注意：（）因式分解的要求： 结果一定是积的形式，分解的对象是多项式； 每个因式必须是整式； 各因式要分解到不能分解为止。 （）因式分解与整式乘法的关系： 是两种不同的变形过程，即互逆关系。 十五、因式分解的方法： （）提公因式法分解因式： （） ，这个变形就是提公因式法分解因式。 这里的可以代表单项式，也可以代表多项式，称为公因式。 确定公因式方法： 系数：取多项式各项系数的最大公约数。 字母（或多项式因式）：取各项都含有的字母（或多项式因式）的最低次幂。 （）利用公式法分解因式： 平方差公式：（）（） 。 完全平方公式：（）； （）。 立方和与立方差公式：（） （） ； （） （） 。 注意：（）公式中的字母、可代表一个数、一个单项式或一个多项式。 （）选择使用公式的方法：主要从项数上看，若多项式是二项式应考虑平方 差或立方和、立方差公式；若多项式是三项式，可考虑用完全平方公式。 （）分组分解法： 将多项式的项适当的分组后，组与组之间能提公因式或运用公式分解。 适用范围：适合四项以上的多项式的分解。 分组的标准为：分组后能提公因式或分组后能运用公式。 （）其他方法： 十字相乘法：（）（） （） 。 求根公式法：若（）的两根是 、，（） （） 。 十六、因式分解的一般步骤及注意问题： （）对多项式各项有公因式时，应先提供因式。 （）多项式各项没有公因式时，如果是二项式就考虑是否符合平方差公式；如果 是三项式就考虑是否符合完全平方公式或二次三项式的因式分解；如果是四项或四项以上 的多项式，通常采用分组分解法。 分解因式，必须进行到每一个多项式都不能再分解为止。 十七、添括号法则： 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负 号，括到括号里的各项都改变符号。 例题 13、多项式的公因式是_.2, 12, 2223 xxxxxx 14、若 x2+2(m-3)x+16 是完全平方式，则 m=_. 15、若 a2+2a+b2-6b+10=0， 则 a=_，b=_ 16、 （1）_。 （2）_。 3245 )()(aa n a )( 2 17、设是一个完全平方式，则m=_。1214 2 mxx 18、若(x2+y2)(x2+y2-1)=12， 则 x2+y2=_. 21、若，求 a+b 的值。01364 22 baba 22、已知 a+b=1，ab=-12，求、a-b 的值。 22 ba 23、化简求值：，其中 2 335 13xxxx 2 1 x 下册下册 第十六章第十六章 分式分式 一.复习目标 1. 了解分式的概念，会确定使分式有意义的分式中字母的取值范围。 2. 掌握分式的基本性质，会约分，通分。 3. 会进行简单的分式的加减乘除乘方的运算。 二.知识梳理 1. 分式：整式 A 除以整式 B，可以表示成 的形式，如果除式 B 中含有 ，那么 A B 称 为分式若 ，则 有意义；若 ，则 无意义；若 ，则 A B A B A B 0. A B 2分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的 用式子表示为 . 3. 约分：把一个分式的分子和分母的 约去，这种变形称为分式的约分 4通分：根据分式的基本性质，把异分母的分式化为 的分式，这一过程称为分 式的通分. 5分式的运算： ， . bc aa bd ac ， ， . bd ac n b a bd ac 例题例题 已知 ，求 的值。3 1 x x 2 2 1 x x 已知 11 3 xy ，求 2142 2 xxyy xxyy 的值。 例 3 先化简，再求值： （），其中x1 2 1 2xx 2 1 44xx 2 2 2xx 第十七章第十七章 反比例函数反比例函数 要求要求：1.一次函数图像性质 2. 从反比例函数方程分析图像大致位置、形状。如何画图 3. 从图像上分析我们可以得到反比例函数图像具有的性质 4. 当 k 大于零时，y 随 x 值增大而减小；当 k 小于零时，y 随 x 值增大而增大，为什么？ 5. 反比例函数图像是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？它是中心对称图形吗？ 例题：例题：例 1反比例函数图象上的点的坐标 （1）在反比例函数的图象上的一个点的坐标是（ ） x y 2 AB （-2，1）) 1 , 2( C （）D 2 1 , 2)2 , 2 1 ( （2）已知是反比例函数图象上一点，下列各点也在该图象上的是（ )4 , 2( ） A （-1，3）B （2，4） CD)4 ,22()2,24( （3）反比例函数的图象在第 象限。 x y 2 （4）如果反比例函数图象过 A（1，2）点，那么这个反比例函数的图象在第 象限。 例 2反比例函数的增减性 （1）在函数的图象上有三点，已知)0(k x k y),(),(),( 333222111 yxAyxAyxA 。则下列各式中，正确的是（ ） 321 0 xxx AB 321 yyy 123 yyy CD 312 yyy 213 yyy （2）若三点都在函数（k”或“ B.0 Cp0 Dp 为任意实数 填空题填空题 1方程 3x2-3=2x+1 的二次项系数为_，一次项系数为_，常数项为 _ 2一元二次方程的一般形式是_ 3关于 x 的方程（a-1）x2+3x=0 是一元二次方程，则 a 的取值范围是_ 综合提高题综合提高题 1a 满足什么条件时，关于 x 的方程 a（x2+x）=x-（x+1）是一元二次方程？3 1方程 x（x-1）=2 的两根为（ ） Ax1=0，x2=1 Bx1=0，x2=-1 Cx1=1，x2=2 Dx1=-1，x2=2 2方程 ax（x-b）+（b-x）=0 的根是（ ） Ax1=b，x2=a Bx1=b，x2= Cx1=a，x2= Dx1=a2，x2=b2 1 a 1 a 3已知 x=-1 是方程 ax2+bx+c=0 的根（b0） ，则=（ ） ac bb A1 B-1 C0 D2 填空题填空题 1如果 x2-81=0，那么 x2-81=0 的两个根分别是 x1=_，x2=_ 2已知方程 5x2+mx-6=0 的一个根是 x=3，则 m 的值为_ 3方程（x+1）2+x（x+1）=0，那么方程的根 x1=_；x2=_2 综合提高题综合提高题 1如果 x=1 是方程 ax2+bx+3=0 的一个根，求（a-b）2+4ab 的值 2如果关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）中的二次项系数与常数项之和等 于一次项系数，求证：-1 必是该方程的一个根 解方程的方法：解方程的方法：直接开平方法、配方法、公式法直接开平方法、配方法、公式法 例题：一、例题：一、1. (2x-1) 2=5 (2)x 2+6x+9=2 (3)x 2-2x+4=-1 2. 如图，在ABC 中，B=90，点 P 从点 B 开始，沿 AB 边向点 B 以 1cm/s的 速度移动，点 Q 从点 B 开始，沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度移动，如果 AB=6cm，BC=12cm，P、Q 都从 B 点同时出发，几秒后PBQ 的面积等于 8cm2？ 3若 8x2-16=0，则 x 的值是_ 4如果方程 2（x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是_ 5 如果 a、b 为实数，满足+b2-12b+36=0，那么 ab 的值是_34a 二、1将二次三项式 x2-4x+1 配方后得（ ） A （x-2）2+3 B （x-2）2-3 C （x+2）2+3 D （x+2）2-3 2已知 x2-8x+15=0，左边化成含有 x 的完全平方形式，其中正确的是（ ） Ax2-8x+（-4）2=31 Bx2-8x+（-4）2=1 Cx2+8x+42=1 Dx2-4x+4=-11 3如果 mx2+2（3-2m）x+3m-2=0（m0）的左边是一个关于 x 的完全平方式，则 m 等于（ ） A1 B-1 C1 或 9 D-1 或 9 填空题填空题 1方程 x2+4x-5=0 的解是_ 2代数式的值为 0，则 x 的值为_ 2 2 2 1 xx x 3已知（x+y） （x+y+2）-8=0，求 x+y 的值，若设 x+y=z，则原方程可变为 _，所以求出 z 的值即为 x+y 的值，所以 x+y 的值为_ 综合提高题综合提高题 1已知三角形两边长分别为 2 和 4，第三边是方程 x2-4x+3=0 的解，求这个三角形的 周长 2如果 x2-4x+y2+6y+13=0，求（xy）z的值2z 3新华商场销售某种冰箱，每台进货价为 2500元，市场调研表明：当销售价为 2900 元时，平均每天能售出 8 台；而当销售价每降 50 元时，平均每天就能多售出 4 台， 商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达 5000 元，每台冰箱的定价应为多少元？ 三、三、1用公式法解方程 4x2-12x=3，得到（ ） Ax= Bx= 36 2 36 2 Cx= Dx= 32 3 2 32 3 2 2方程x2+4x+6=0 的根是（ ） 232 Ax1=，x2= Bx1=6，x2=232 Cx1=2，x2= Dx1=x2=-226 3 （m2-n2） （m2-n2-2）-8=0，则 m2-n2的值是（ ） A4 B-2 C4 或-2 D-4 或 2 填空题填空题 1一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的求根公式是_，条件是_ 2当 x=_时，代数式 x2-8x+12 的值是-4 3若关于 x 的一元二次方程（m-1）x2+x+m2+2m-3=0 有一根为 0，则 m 的值是 _ 综合提高题综合提高题 1用公式法解关于 x 的方程：x2-2ax-b2+a2=0 2设 x1，x2是一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的两根， （1）试推导 x1+x2=- ，x1x2=；（2）求代数式 a（x13+x23）+b（x12+x22）+c（x1+x2）的值 b a c a 中考连接：中考连接：2、已知关于 x 的方程. 2 (2)210 xmxm （1）求证方程有两个不相等的实数根. （2）当 m 为何值时，方程的两根互为相反数？并求出此时方程的解 10、如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的 22 (21)10k xkx k 取值范围是（ ） A. B.且 k 1 4 k 1 4 0k C. D.且k 1 4 1 4 k 0k 已知 x1，x2 是关于 x 的方程（x2） （xm）=（p2） （pm）的两个实数根 （1）求 x1，x2 的值； （2）若 x1，x2 是某直角三角形的两直角边的长，问当实数 m，p 满足什么条件时，此直角 三角形的面积最大？并求出其最大值 第二十三章第二十三章 旋转旋转 基本要求：通过实例认识旋转变换，理解旋转的含义和基本性质，能做出简单的图形旋