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江西省上饶县中学2020学年高中数学奥林匹克竞赛训练题（181）（无答案）第一试1、 填空题（每小题8分，共64分）1. 在金属丝制作的的长方体框架中放置一个球，则该球的半径的最大值为.2. 双曲线的左、右两焦点分别为，一条过的直线与双曲线的右支交于两点.若为正三角形，则双曲线的离心率为.3. 已知正实数满足.则的最大值为.4. 从九名同学中先出五名组成班选会，要求甲、乙两人要么同时入选，要么同时不入选，丙、丁两人不同时入选.则符合要求的选法共有种（用数字作答）.5. 在等腰中，已知，点分别在边上，且.若，则的取值范围是.6. 圆周上每个点均被染为红、黄、蓝三色之一，并且三种颜色的点均出现.现从圆周上任取个点.若其中总存在三个点构成三个顶点同色的钝角三角形，则的最小可能值为.7. 已知.则的最大值为.8. 设.若，则的取值集合为.二、解答题（共56分）9.（16分）求函数的值域.10.（20分）如图1，在平面直角坐标系中，以为圆心的圆与双曲线交于点.记线段的中点分别为.证明：四边形为平行四边形.11. （20分）已知数列满足，并且对任意的取或的概率均为.（1） 设的值为随机变量，试求的概率分布；（2） 求的绝对值的数学期望.加 试一、（40分）如图2，在中，圆是的外接圆，圆过点且与切于点，圆过点且与切于点，圆与圆交于两点，射线与圆交于点，射线与圆交于点（点均不与重合），直线与交于点.证明：.二、（40分）设为正整数数列,且对任意满足的正整数,存在正整数，使得.试对每一个固定的,求的最大值.三、（50分）证明：存在无穷多个正整数,使得，其中,表示不超过实数的最大整数.四、(50分)已知有支足球队参加单循环赛,每两队赛一场,每场胜方得3分,负方得0分,平局各得1分.
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