2014年辽宁省高考数学试卷（文科）

2014年辽宁省高考数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分）1（5分）已知全集U=R，A=x|x0，B=x|x1，则集合U（AB）=（）Ax|x0Bx|x1Cx|0x1Dx|0x12（5分）设复数z满足（z2i）（2i）=5，则z=（）A2+3iB23iC3+2iD32i3（5分）已知a=，b=log2，c=log，则（）AabcBacbCcbaDcab4（5分）已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（）A若m，n，则mnB若m，n，则mnC若m，mn，则nD若m，mn，则n5（5分）设，是非零向量，已知命题p：若=0，=0，则=0；命题q：若，则，则下列命题中真命题是（）ApqBpqC（p）（q）Dp（q）6（5分）若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是（）ABCD7（5分）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A8B8C8D828（5分）已知点A（2，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为（）AB1CD9（5分）设等差数列an的公差为d，若数列2为递减数列，则（）Ad0Bd0Ca1d0Da1d010（5分）已知f（x）为偶函数，当x0时，f（x）=，则不等式f（x1）的解集为（）A，B，C，D，11（5分）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A在区间，上单调递增B在区间，上单调递减C在区间，上单调递减D在区间，上单调递增12（5分）当x2，1时，不等式ax3x2+4x+30恒成立，则实数a的取值范围是（）A5，3B6，C6，2D4，3二、填空题（共4小题，每小题5分）13（5分）执行如图的程序框图，若输入n=3，则输出T= 14（5分）已知x，y满足约束条件，则目标函数z=3x+4y的最大值为 15（5分）已知椭圆C：+=1，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A、B，线段MN的中点在C上，则|AN|+|BN|= 16（5分）对于c0，当非零实数a，b满足4a22ab+b2c=0且使|2a+b|最大时，+的最小值为 三、解答题17（12分）在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且ac，已知=2，cosB=，b=3，求：（）a和c的值；（）cos（BC）的值18（12分）某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如表所示：喜欢甜品不喜欢甜品合计南方学生602080北方学生101020合计7030100（）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；（）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率附：X2= P（x2k）0.1000.0500.010k2.7063.8416.63519（12分）如图，ABC和BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2ABC=DBC=120，E、F、G分别为AC、DC、AD的中点（）求证：EF平面BCG；（）求三棱锥DBCG的体积附：锥体的体积公式V=Sh，其中S为底面面积，h为高20（12分）圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图）（）求点P的坐标；（）焦点在x轴上的椭圆C过点P，且与直线l：y=x+交于A、B两点，若PAB的面积为2，求C的标准方程21（12分）已知函数f（x）=（xcosx）2sinx2，g（x）=（x）+1证明：（）存在唯一x0（0，），使f（x0）=0；（）存在唯一x1（，），使g（x1）=0，且对（）中的x0，有x0+x1四、选考题，请考生在22-24三题中任选一题作答，多做则按所做的第一题给分选修4-1：几何证明选讲22（10分）如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG=PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F（）求证：AB为圆的直径；（）若AC=BD，求证：AB=ED选修4-4：坐标系与参数方程23将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C（）写出C的参数方程；（）设直线l：2x+y2=0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程选修4-5：不等式选讲24设函数f（x）=2|x1|+x1，g（x）=16x28x+1记f（x）1的解集为M，g（x）4的解集为N（）求M；（）当xMN时，证明：x2f（x）+xf（x）22014年辽宁省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分）1（5分）已知全集U=R，A=x|x0，B=x|x1，则集合U（AB）=（）Ax|x0Bx|x1Cx|0x1Dx|0x1【分析】先求AB，再根据补集的定义求CU（AB）【解答】解：AB=x|x1或x0，CU（AB）=x|0x1，故选：D【点评】本题考查了集合的并集、补集运算，利用数轴进行数集的交、并、补运算是常用方法2（5分）设复数z满足（z2i）（2i）=5，则z=（）A2+3iB23iC3+2iD32i【分析】把给出的等式两边同时乘以，然后利用复数代数形式的除法运算化简，则z可求【解答】解：由（z2i）（2i）=5，得：，z=2+3i故选：A【点评】本题考查了复数代数形式的除法运算，是基础的计算题3（5分）已知a=，b=log2，c=log，则（）AabcBacbCcbaDcab【分析】利用指数式的运算性质得到0a1，由对数的运算性质得到b0，c1，则答案可求【解答】解：0a=20=1，b=log2log21=0，c=log=log23log22=1，cab故选：D【点评】本题考查指数的运算性质和对数的运算性质，在涉及比较两个数的大小关系时，有时借助于0、1这样的特殊值能起到事半功倍的效果，是基础题4（5分）已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（）A若m，n，则mnB若m，n，则mnC若m，mn，则nD若m，mn，则n【分析】A运用线面平行的性质，结合线线的位置关系，即可判断；B运用线面垂直的性质，即可判断；C运用线面垂直的性质，结合线线垂直和线面平行的位置即可判断；D运用线面平行的性质和线面垂直的判定，即可判断【解答】解：A若m，n，则m，n相交或平行或异面，故A错；B若m，n，则mn，故B正确；C若m，mn，则n或n，故C错；D若m，mn，则n或n或n，故D错故选：B【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面的平行、垂直的判断与性质，记熟这些定理是迅速解题的关键，注意观察空间的直线与平面的模型5（5分）设，是非零向量，已知命题p：若=0，=0，则=0；命题q：若，则，则下列命题中真命题是（）ApqBpqC（p）（q）Dp（q）【分析】根据向量的有关概念和性质分别判断p，q的真假，利用复合命题之间的关系即可得到结论【解答】解：若=0，=0，则=，即（）=0，则=0不一定成立，故命题p为假命题，若，则平行，故命题q为真命题，则pq，为真命题，pq，（p）（q），p（q）都为假命题，故选：A【点评】本题主要考查复合命题之间的判断，利用向量的有关概念和性质分别判断p，q的真假是解决本题的关键6（5分）若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是（）ABCD【分析】利用几何槪型的概率公式，求出对应的图形的面积，利用面积比即可得到结论【解答】解：AB=2，BC=1，长方体的ABCD的面积S=12=2，圆的半径r=1，半圆的面积S=，则由几何槪型的概率公式可得质点落在以AB为直径的半圆内的概率是，故选：B【点评】本题主要考查几何槪型的概率的计算，求出对应的图形的面积是解决本题的关键，比较基础7（5分）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A8B8C8D82【分析】几何体是正方体切去两个圆柱，根据三视图判断正方体的棱长及切去的圆柱的底面半径和高，把数据代入正方体与圆柱的体积公式计算【解答】解：由三视图知：几何体是正方体切去两个圆柱，正方体的棱长为2，切去的圆柱的底面半径为1，高为2，几何体的体积V=232122=8故选：C【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键8（5分）已知点A（2，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为（）AB1CD【分析】利用点A（2，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，确定焦点F的坐标，即可求出直线AF的斜率【解答】解：点A（2，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，=2，F（2，0），直线AF的斜率为=故选：C【点评】本题考查抛物线的性质，考查直线斜率的计算，考查学生的计算能力，属于基础题9（5分）设等差数列an的公差为d，若数列2为递减数列，则（）Ad0Bd0Ca1d0Da1d0【分析】由数列递减可得1，由指数函数的性质和等差数列的通项公式化简可得【解答】解：数列2为递减数列，1，即1，1，a1（an+1an）=a1d0故选：D【点评】本题考查等差数列的性质和指数函数的性质，属中档题10（5分）已知f（x）为偶函数，当x0时，f（x）=，则不等式f（x1）的解集为（）A，B，C，D，【分析】先求出当x0时，不等式f（x）的解，然后利用函数的奇偶性求出整个定义域上f（x）的解，即可得到结论【解答】解：当x0，由f（x）=，即cosx=，则x=，即x=，当x时，由f（x）=，得2x1=，解得x=，则当x0时，不等式f（x）的解为x，（如图）则由f（x）为偶函数，当x0时，不等式f（x）的解为x，即不等式f（x）的解为x或x，则由x1或x1，解得x或x，即不等式f（x1）的解集为x|x或x，故选：A【点评】本题主要考查不等式的解法，利用分段函数的不等式求出x0时，不等式f（x）的解是解决本题的关键11（5分）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A在区间，上单调递增B在区间，上单调递减C在区间，上单调递减D在区间，上单调递增【分析】直接由函数的图象平移得到平移后的图象所对应的函数解析式，然后利用复合函数的单调性的求法求出函数的增区间，取k=0即可得到函数在区间，上单调递增，则答案可求【解答】解：把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式为：y=3sin2（x）+即y=3sin（2x）当函数递增时，由，得取k=0，得所得图象对应的函数在区间，上单调递增故选：A【点评】本题考查了函数图象的平移，考查了复合函数单调性的求法，复合函数的单调性满足“同增异减”原则，是中档题12（5分）当x2，1时，不等式ax3x2+4x+30恒成立，则实数a的取值范围是（）A5，3B6，C6，2D4，3【分析】分x=0，0x1，2x0三种情况进行讨论，分离出参数a后转化为函数求最值即可，利用导数即可求得函数最值，注意最后要对a取交集【解答】解：当x=0时，不等式ax3x2+4x+30对任意aR恒成立；当0x1时，ax3x2+4x+30可化为a，令f（x）=，则f（x）=（*），当0x1时，f（x）0，f（x）在（0，1上单调递增，f（x）max=f（1）=6，a6；当2x0时，ax3x2+4x+30可化为a，由（*）式可知，当2x1时，f（x）0，f（x）单调递减，当1x0时，f（x）0，f（x）单调递增，f（x）min=f（1）=2，a2；综上所述，实数a的取值范围是6a2，即实数a的取值范围是6，2故选：C【点评】本题考查利用导数研究函数的最值，考查转化思想、分类与整合思想，按照自变量讨论，最后要对参数范围取交集；若按照参数讨论则取并集二、填空题（共4小题，每小题5分）13（5分）执行如图的程序框图，若输入n=3，则输出T=20【分析】算法的功能是求T=1+（1+2）+（1+2+3）+（1+2+3+i）的值，根据条件确定跳出循环的i值，计算输出的T值【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求T=1+（1+2）+（1+2+3）+（1+2+3+i）的值，当输入n=3时，跳出循环的i值为4，输出T=1+3+6+10=20故答案为：20【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键14（5分）已知x，y满足约束条件，则目标函数z=3x+4y的最大值为18【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得，C（2，3）化目标函数z=3x+4y为直线方程的斜截式，得：由图可知，当直线过点C时，直线在y轴上的截距最大，即z最大zmax=32+43=18故答案为：18【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题15（5分）已知椭圆C：+=1，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A、B，线段MN的中点在C上，则|AN|+|BN|=12【分析】画出图形，利用中点坐标以及椭圆的定义，即可求出|AN|+|BN|的值【解答】解：如图：MN的中点为Q，易得，Q在椭圆C上，|QF1|+|QF2|=2a=6，|AN|+|BN|=12故答案为：12【点评】本题考查椭圆的定义，椭圆的基本性质的应用，是对基本知识的考查16（5分）对于c0，当非零实数a，b满足4a22ab+b2c=0且使|2a+b|最大时，+的最小值为1【分析】首先把：4a22ab+b2c=0，转化为=，再由柯西不等式得到|2a+b|2，分别用b表示a，c，在代入到+得到关于b的二次函数，求出最小值即可【解答】解：4a22ab+b2c=0，=由柯西不等式得，2（a）+22=|2a+b|2故当|2a+b|最大时，有，c=b2+=当b=2时，取得最小值为1故答案为：1【点评】本题考查了柯西不等式，以及二次函数的最值问题，属于难题三、解答题17（12分）在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且ac，已知=2，cosB=，b=3，求：（）a和c的值；（）cos（BC）的值【分析】（）利用平面向量的数量积运算法则化简=2，将cosB的值代入求出ac=6，再利用余弦定理列出关系式，将b，cosB以及ac的值代入得到a2+c2=13，联立即可求出ac的值；（）由cosB的值，利用同角三角函数间基本关系求出sinB的值，由c，b，sinB，利用正弦定理求出sinC的值，进而求出cosC的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值【解答】解：（）=2，cosB=，cacosB=2，即ac=6，b=3，由余弦定理得：b2=a2+c22accosB，即9=a2+c24，a2+c2=13，联立得：a=3，c=2；（）在ABC中，sinB=，由正弦定理=得：sinC=sinB=，a=bc，C为锐角，cosC=，则cos（BC）=cosBcosC+sinBsinC=+=【点评】此题考查了正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键18（12分）某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如表所示：喜欢甜品不喜欢甜品合计南方学生602080北方学生101020合计7030100（）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；（）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率附：X2= P（x2k）0.1000.0500.010k2.7063.8416.635【分析】（）根据表中数据，利用公式，即可得出结论；（）利用古典概型概率公式，即可求解【解答】解：（）由题意，X2=4.7623.841，有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；（）从这5名学生中随机抽取3人，共有=10种情况，有2名喜欢甜品，有=3种情况，至多有1人喜欢甜品的概率【点评】本题考查独立性检验的应用，考查古典概型及其概率计算公式，考查学生的计算能力，属于中档题19（12分）如图，ABC和BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2ABC=DBC=120，E、F、G分别为AC、DC、AD的中点（）求证：EF平面BCG；（）求三棱锥DBCG的体积附：锥体的体积公式V=Sh，其中S为底面面积，h为高【分析】（）先证明AD平面BGC，利用EFAD，可得EF平面BCG；（）在平面ABC内，作AOCB，交CB的延长线于O，G到平面BCD的距离h是AO长度的一半，利用VDBCG=VGBCD=，即可求三棱锥DBCG的体积【解答】（）证明：AB=BC=BD=2ABC=DBC=120，ABCDBC，AC=DC，G为AD的中点，CGAD同理BGAD，CGBG=G，AD平面BGC，EFAD，EF平面BCG；（）解：在平面ABC内，作AOCB，交CB的延长线于O，ABC和BCD所在平面互相垂直，AO平面BCD，G为AD的中点，G到平面BCD的距离h是AO长度的一半在AOB中，AO=ABsin60=，VDBCG=VGBCD=【点评】本题考查线面垂直，考查三棱锥体积的计算，正确转换底面是关键20（12分）圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图）（）求点P的坐标；（）焦点在x轴上的椭圆C过点P，且与直线l：y=x+交于A、B两点，若PAB的面积为2，求C的标准方程【分析】（）设切点P的坐标为（x0，y0），求得圆的切线方程，根据切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成的三角形的面积S=再利用基本不等式求得S取得最小值，求得点P的坐标（）设椭圆的标准方程为 +=1，ab0，则 +=1把直线方程和椭圆的方程联立方程组，转化为关于x的一元二次方程，利用韦达定理、弦长公式求出弦长AB以及点P到直线的距离d，再由PAB的面积为S=ABd=2，求出a2、b2的值，从而得到所求椭圆的方程【解答】解：（）设切点P的坐标为（x0，y0），且x00，y00则切线的斜率为，故切线方程为 yy0=（xx0），即x0x+y0y=4此时，切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成的三角形的面积S=再根据 +=42x0y0，可得当且仅当x0=y0=时，x0y0取得最大值为2，即S取得最小值为=4，故此时，点P的坐标为（，）（）设椭圆的标准方程为 +=1，ab0，椭圆C过点P，+=1由 求得b2x2+4x+62b2=0，x1+x2=，x1x2=由 y1=x1+，y2=x2+，可得AB=|x2x1|=由于点P（，）到直线l：y=x+的距离d=，PAB的面积为S=ABd=2，可得 b49b2+18=0，解得 b2=3，或 b2=6，当b2=6 时，由+=1求得a2=3，不满足题意；当b2=3时，由+=1求得a2=6，满足题意，故所求的椭圆的标准方程为 +=1【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，直线和圆锥曲线的位置关系，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，属于难题21（12分）已知函数f（x）=（xcosx）2sinx2，g（x）=（x）+1证明：（）存在唯一x0（0，），使f（x0）=0；（）存在唯一x1（，），使g（x1）=0，且对（）中的x0，有x0+x1【分析】（）导数法可判f（x）在（0，）上为增函数，又可判函数有零点，故必唯一；（）化简可得g（x）=（x）+1，换元法，令t=x，记u（t）=g（t）=t+1，t0，由导数法可得函数的零点，可得不等式【解答】解：（）当x（0，）时，f（x）=+sinx2cosx0，f（x）在（0，）上为增函数，又f（0）=20，f（）=40，存在唯一x0（0，），使f（x0）=0；（）当x，时，化简可得g（x）=（x）+1=（x）+1，令t=x，记u（t）=g（t）=t+1，t0，求导数可得u（t）=，由（）得，当t（0，x0）时，u（t）0，当t（x0，）时，u（t）0，函数u（t）在（x0，）上为增函数，由u（）=0知，当tx0，）时，u（t）0，函数u（t）在x0，）上无零点；函数u（t）在（0，x0）上为减函数，由u（0）=1及u（x0）0知存在唯一t0（0，x0），使u（t0）=0，于是存在唯一t0（0，），使u（t0）=0，设x1=t0（，），则g（x1）=g（t0）=u（t0）=0，存在唯一x1（，），使g（x1）=0，x1=t0，t0x0，x0+x1【点评】本题考查零点的判定定理，涉及导数法证明函数的单调性，属中档题四、选考题，请考生在22-24三题中任选一题作答，多做则按所做的第一题给分选修4-1：几何证明选讲22（10分）如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG=PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F（）求证：AB为圆的直径；（）若AC=BD，求证：AB=ED【分析】（）证明AB为圆的直径，只需证明BDA=90；（）证明RtBDARtACB，再证明DCE为直角，即可证明AB=ED【解答】证明：（）PG=PD，PDG=PGD，PD为切线，PDA=DBA，PGD=EGA，DBA=EGA，DBA+BAD=EGA+BAD，BDA=PFA，AFEP，PFA=90BDA=90，AB为圆的直径；（）连接BC，DC，则AB为圆的直径，BDA=ACB=90，在RtBDA与RtACB中，AB=BA，AC=BD，RtBDARtACB，DAB=CBA，DCB=DAB，DCB=CB