高中数学 7.7《数列的综合应用》学案1（教师用） 新人教A版必修5

7.7数列的综合应用一、学习目标：1理解“复利”的概念，能解决分期付款的有关计算方法； 2能够把实际问题转化成数列问题二、自主学习：【课前检测】1猜想1=1,1-4= - (1+2), 1-4+9=1+2+3,的第n个式子为 。2用数学归纳法证明,在验证成立时,左边所得的项为( C )A.1 B.1+ C. D.【考点梳理】1.等差、等比数列的应用题常见于：产量增减、价格升降、细胞繁殖等问题，求利率、增长率等问题也常归结为数列建模问题。生产部门中有增长率的总产量问题. 例如，第一年产量为，年增长率为，则每年的产量成等比数列，公比为.其中第年产量为，且过年后总产量为：银行部门中按复利计算问题. 例如：一年中每月初到银行存元，利息为，每月利息按复利计算，则每月的元过个月后便成为元. 因此，第二年年初可存款：=.注意：“分期付款”、“森林木材”型应用问题 这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题.但在求解过程中，务必“卡手指”，细心计算“年限”.对于“森林木材”既增长又砍伐的问题,则常选用“统一法”统一到“最后”解决. 利率问题：单利问题：如零存整取储蓄(单利)本利和计算模型：若每期存入本金元,每期利率为,则期后本利和为：(等差数列问题）；复利问题：按揭贷款的分期等额还款(复利)模型：若贷款(向银行借款)元,采用分期等额还款方式,从借款日算起,一期(如一年)后为第一次还款日,如此下去,分期还清.如果每期利率为（按复利），那么每期等额还款元应满足： (等比数列问题).分期付款应用题：为分期付款方式贷款为a元；m为m个月将款全部付清；为年利率.2.将实际问题转化为数列问题时应注意：（1）分清是等差数列还是等比数列；（2）分清是求an还是求Sn，特别要准确地确定项数n.3.数列与其他知识的综合也是常考的题型，如：数列与函数、不等式、解析几何知识相互联系和渗透，都是常见的题型。4.强化转化思想、方程思想的应用.三、合作探究：题型1 以等差数列为模型的问题例1 由于美伊战争的影响，据估计，伊拉克将产生60100万难民，联合国难民署计划从4月1日起为伊难民运送食品.第一天运送1000 t，第二天运送1100 t，以后每天都比前一天多运送100t，直到达到运送食品的最大量，然后再每天递减100 t，连续运送15天，总共运送21300 t，求在第几天达到运送食品的最大量.剖析：本题实质上是一个等差数列的求通项和求和的问题.解：设在第n天达到运送食品的最大量.则前n天每天运送的食品量是首项为1000，公差为100的等差数列.an=1000+（n1）100=100n+900.其余每天运送的食品量是首项为100n+800，公差为100的等差数列.依题意，得1000n+100+（100n+800）（15n）+（100）=21300（1n15）.整理化简得n231n+198=0.解得n=9或22（不合题意，舍去）.答：在第9天达到运送食品的最大量.变式训练1 数列an中，a16，且anan1n1(nN*，n2)，则这个数列的通项an_. 答案：(n1)(n2)解：由已知等式得nan(n1)an1n(n1)(nN*，n2)，则1，所以数列是以3为首项，1为公差的等差数列，即n2，则an(n1)(n2)n1时，此式也成立小结与拓展：对数列应用题要分清是求通项问题还是求和问题。题型2 以等比数列为模型的实际问题例2 （2020年春季上海，20）某市2020年底有住房面积1200万平方米，计划从2020年起，每年拆除20万平方米的旧住房.假定该市每年新建住房面积是上年年底住房面积的5%.（1）分别求2020年底和2020年底的住房面积；（2）求2024年底的住房面积.（计算结果以万平方米为单位，且精确到0.01）剖析：本题实质是一个等比数列的求和问题.解:（1）2020年底的住房面积为1200（1+5%）20=1240（万平方米），2020年底的住房面积为1200（1+5%）220（1+5%）20=1282（万平方米），2020年底的住房面积为1240万平方米，2020年底的住房面积为1282万平方米.（2）2024年底的住房面积为1200（1+5%）2020（1+5%）1920（1+5%）1820（1+5%）20=1200（1+5%）20202522.64（万平方米），2024年底的住房面积约为2522.64万平方米.评述：应用题应先建立数学模型，再用数学知识解决，然后回到实际问题，给出答案.变式训练2 从2002年1月2日起，每年1月2日到银行存入一万元定期储蓄，若年利率为p，且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新一年的定期存款，到2020年1月1日将所有存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数为_ _万元.答案：（1+p）7（1+p）解：存款从后向前考虑（1+p）+（1+p）2+（1+p）5=（1+p）7（1+p）.注：2020年不再存款.小结与拓展：对数列应用题要分清是求通项问题还是求和问题。题型3 数列与函数、不等式等问题的综合应用例3 (文)在数列an中，a11,3anan1anan10(n2，nN)(1)试判断数列是否为等差数列；(2)设bn满足bn，求数列bn的前n项为Sn；(3)若an，对任意n2的整数恒成立，求实数的取值范围解：(1)a10，an0，由已知可得3(n2)，故数列是等差数列(2)由(1)的结论可得bn1(n1)3，所以bn3n2，Sn.(3)将an代入an并整理得(1)3n1，原命题等价于该式对任意n2的整数恒成立设Cn，则Cn1Cn0，故Cn1Cn，Cn的最小值为C2， 的取值范围是(，变式训练3 已知数列an的前n项和为Sn，对任意nN*都有Snan，若1Sk1)，即an(an)(an1)anan1，整理得：2，an是首项为1，公比为2的等比数列，Sk，1Sk9，19，即4(2)k28，仅当k4时不等式成立小结与拓展：数列的综合问题常与函数、方程、不等式等知识相互联系和渗透.四、课堂总结：（以学生为主，师生共同完成）1.等差、等比数列的应用题常见于：产量增减、价格升降、细胞繁殖等问题，求利率、增长率等问题也常归结为数列建模问题. 解应用题的关键是建立数学模型，转化为数学问题，要加强培养转化意识.2.将实际问题转化为数列问题时应注意：（1）分清是等差数列还是等比数列；（2）分清是求an还是求Sn，特别要准确地确定项数n.3.数列的综合问题常与函数、方程、不等式等知识相互联系和渗透.4.强化转化思想、方程思想的应用.五、检测巩固：1某地区森林原有木材存量为，且每年增长率为25，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为，设为年后该地区森林木材的存量，（1）求的表达式；（2）为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材存量不少于，如果，那么该地区今后会发生水土流失吗？若会，需要经过几年？（参考数据：）解：（1）设第一年的森林的木材存量为，第年后的森林的木材存量为，则，（2）当时，有得即，所以，答：经过8年后该地区就开始水土流失2轻纺城的一家私营企业主，一月初向银行贷款一万元作开店资金，每月月底获得的利润是该月月初投入资金的，每月月底需要交纳房租和所得税为该月所得金额（包括利润）的，每月的生活费开支300元，余款作为资金全部投入再经营，如此继续，问该年年底，该私营企业主有现款多少元？如果银行贷款的年利率为，问私营企业主还清银行贷款后纯收入还有多少元？解：第一个月月底余元，设第个月月底余，第个月月底余，则，从而有，设，是等比数列，还贷后纯收入为元3银行按规定每经过一定的时间结算存（贷）款的利息一次，结算后即将利息并入本金，这种计算利息的方法叫做复利现在有某企业进行技术改造，有两种方案：甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获得利润1万元，以后每年比上年增加30的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获得利润1万元，以后每年比前一年多获利5000元两种方案的期限都是10年，到期一次行归还本息若银行贷款利息均以年息10的复利计算，试比较两个方案哪个获得存利润更多？（计算精确到千元，参考数据：） 解：甲方案10年获利润是每年利润数组成的数列的前10项的和：（万元）到期时银行的本息和为（万元）甲方案扣除本息后的净获利为：（万元）乙方案：逐年获利成等差数列，前10年共获利：（万元）贷款的本利和为：（万元）乙方案扣除本息后的净获利为：（万元）所以，甲方案的获利较多4某工厂在1999年的“减员增效”中对部分人员实行分流，规定分流人员第一年可以到原单位领取工资的100，从第二年起，以后每年只能在原单位按上一年的领取工资，该厂根据分流人员的技术特长，计划创办新的经济实体，该经济实体预计第一年属投资阶段，第二年每人可获得元收入，从第三年起每人每年的收入可在上一年的基础上递增50，如果某人分流前工资的收入每年元，分流后进入新经济实体，第年的收入为元，（1）求的通项公式；（2）