高中数学 8《最小二乘估计》教案 师大版必修3

最小二乘估计教学目标：1、掌握最小二乘法的思想 2、能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程教学重点：最小二乘法的思想教学难点：线性回归方程系数公式的应用教学过程回顾：上节课我们讨论了人的身高与右手一拃长之间的线性关系，用了很多种方法来刻画这种线性关系，但是这些方法都缺少数学思想依据。问题1、用什么样的线性关系刻画会更好一些？想法：保证这条直线与所有点都近（也就是距离最小）。最小二乘法就是基于这种想法。问题2、用什么样的方法刻画点与直线的距离会方便有效？设直线方程为y=a+bx，样本点A（xi，yi）方法一、点到直线的距离公式 方法二、显然方法二能有效地表示点A与直线y=a+bx的距离，而且比方法一更方便计算，所以我们用它来表示二者之间的接近程度。问题3、怎样刻画多个点与直线的接近程度？例如有5个样本点，其坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4），（x5，y5）与直线y=a+bx的接近程度： 从而我们可以推广到n个样本点：（x1，y1），（x2，y2），（xn，yn）与直线y=a+bx的接近程度：使得上式达到最小值的直线y=a+bx就是我们所要求的直线，这种方法称为最小二乘法问题4、怎样使达到最小值？先来讨论3个样本点的情况设有3个点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），则由最小二乘法可知直线y=a+bx与这3个点的接近程度由下面表达式刻画：整理成为关于a的一元二次函数，如下所示： 利用配方法可得从而当时，使得函数达到最小值。将代入式，整理成为关于b的一元二次函数， 同样使用配方法可以得到，当时，使得函数达到最小值。从而得到直线y=a+bx的系数a，b，且称直线y=a+bx为这3个样本点的线性回归方程。用同样的方法我们可以推导出n个点的线性回归方程的系数：其中由我们知道线性回归直线y=a+bx一定过。例题与练习例1 在上一节练习中，从散点图可以看出，某小卖部6天卖出热茶的杯数（y）与当天气温（x）之间是线性相关的。数据如下表气温（xi）oC261813104-1杯数（yi）杯202434385064（） 试用最小二乘法求出线性回归方程。（） 如果某天的气温是3 oC，请预测可能会卖出热茶多少杯。解：（1）先画出其散点图ixiyixi2xiyi126206765202182432443231334169442410381003805450162006164164合计7023012861910可以求得 则线性回归方程为 y =57.5571.648x（2）当某天的气温是3 oC时，卖出热茶的杯数估计为：练习1 已知x，y之间的一组数据如下表，则y与x的线性回归方程y=a+bx必经过点 ( D )x0123y1357 （A）（2，2） （B）（1.5，0） （C）（1，2） （D）（1.5，4）练习2 某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表：商店名称ABCDE销售额（x）/千万元35679利润额（y）/百万元23345（） 画出销售额和利润额的散点图；（） 若销售额和利润额具有相关关系，计算利润额y对销售额x的回归直线方程。解：（1）（2）数据如下表：ixiyixi2xiyi132962532515363361847449285958145合计3017200112可以求得