高中数学 《余弦定理》教案5 苏教版必修5（通用）

余弦定理教案教学目的1使学生掌握余弦定理及其证明方法2使学生初步掌握余弦定理的应用教学重点与难点教学重点是余弦定理及其应用；教学难点是用解析法证明余弦定理教学过程设计一、复习师：直角ABC中有如下的边角关系(设C=90)：(1)角的关系 A+B+C=180A+B=90(2)边的关系c2=a2+b2二、引入师：在ABC中，当C=90时，有c2=a2+b2若a，b边的长短不变，变换C的大小时，c2与a2+b2有什么关系呢？请同学们思考如图1，若C90时，由于AC与BC的长度不变，所以AB的长度变短，即c2a2+b2如图2，若C90时，由于AC与BC的长度不变，所以AB的长度变长，即c2a2+b2经过议论学生已得到当C90时，c2a2+b2，那么c2与a2+b2到底相差多少呢？请同学们继续思考如图3，当C为锐角时，作BDAC于D，BD把ABC分成两个直角三角形：在RtABD中，AB2=AD2+BD2；在RtBDC中，BD=BCsinC=asinC，DC=BCcosC=acosC所以，AB2=AD2+BD2化为c2=(bacosC)2+(asinC)2，c2=b22abcosC+a2cos2C+a2sin2C，c2=a2+b22abcosC我们可以看出C为锐角时，ABC的三边a，b，c具有c2=a2+b22abcosC的关系从以上分析过程，我们对C是锐角的情况有了清楚认识我们不仅要认识到，C为锐角时有c2=a2+b22abcosC，还要体会出怎样把一个斜三角形转化成两个直角三角形的这种未知向已知的转化在数学中经常碰到下面请同学们自己动手推导结论如图4，当C为钝角时，作BDAC，交AC的延长线于DACB是两个直角三角形之差在RtABD中，AB2=AD2+BD2在RtBCD中，BCD=CBD=BCsin(C)，CD=BC cos(C)所以AB2=AD2+BD2化为c2=(AC+CD)2+BD2=b+acos(C)2+asin(C)2=b2+2abcos(C)+a2cos2(C)+a2sin2(C)=b2+2abcos(C)+a2因为cos(C)=cosC，所以c2=b2+a22abcosC这里C为钝角，cosC为负值，2abcosC为正值，所以b2+a22abcosCa2+b2，即c2a2+b2从以上我们可以看出，无论C是锐角还是钝角，ABC的三边都满足c2=a2+b22abcosC这就是余弦定理我们轮换A，B，C的位置可以得到a2=b2+c22bccosAb2=c2+a22accosB三、证明余弦定理师：在引入过程中，我们不仅找到了斜三角形的边角关系，而且还给出了证明，这个证明是依据分类讨论的方法，把斜三角形化归为两个直角三角形的和或差，再利用勾股定理和锐角三角函数证明的这是证明余弦定理的一个好方法，但比较麻烦现在我们已学完了三角函数，无论是锐角、直角或钝角，我们都有统一的定义，借用三角函数和两定点间的距离来证明余弦定理，我们就可避开分类讨论我们仍就以C为主进行证明如图5，我们把顶点C置于原点，CA落在x轴的正半轴上，由于ABC的AC=b，CB=a，AB=c，则A，B，C点的坐标分别为A(b，0)，B(acosC，asinC)，C(0，0)请同学们分析B点坐标是怎样得来的生：ACB=C，CB为ACB的终边，B为CB上一点，设B的坐标为(x，师：回答很准确，A，B两点间的距离如何求？生：|AB|2=(acosCb)2+(asinC0)2=a2cos2C2abcosC+b2+a2sin2C=a2+b22abcosC，即c2=a2+b22abcosC师：大家请看，我们这里也导出了余弦定理，这个证明方法是解析法这种方法以后还要详细学习余弦定理用语言可以这样叙述，三角形一边的平方等于另两边的平方和再减去这两边与夹角余弦的乘积的2倍即：a2=b2+c22bccosAc2=a2+b22abcosCb2=a2+c22accosB若用三边表示角，余弦定理可以写为四、余弦定理的作用(1)已知三角形的三条边长，可求出三个内角；(2)已知三角形的两边及夹角，可求出第三边解 由余弦定理可知Bc2=Ab2+Ac22ABACcosA所以BC=7以上两个小例子简单说明了余弦定理的作用五、余弦定理与勾股定理的关系、余弦定理与锐角三角函数的关系在ABC中，c2=a2+b22abcosC若C=90，则cosC=0，于是c2=a2+b22ab0=a2+b2说明勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广 这与RtABC中，C=90的锐角三角函数一致，即直角三角形中的锐角三角函数是余弦定理的特例六、应用举例例1 在ABC中，求证c=bcosA+acosB师：请同学们先做几分钟生甲：如图6，作CDAB于D在RtACD中，AD=bcosA；在RtCBD中，DB=acosB而c=AD+DB，所以c=bcosA+acosB师：这位学生的证法是否完备，请大家讨论生乙：他的证法有问题，因为作CDAB时垂足D不一定落在AB上若落在AB的延长线上时，cAD+DB，而c=ADDB师：学生乙的问题提得好，我们如果把学生乙所说的情况补充上是否就完备了呢？生丙：还不够因为作CDAB时，垂足D还可以落在B处师：其实垂足D有五种落法，如落在AB上；AB的延长线上；BA的延长线上；A点或B点处我们要分这么多种情况证明未免有些太麻烦了请大家借用余弦定理证明生：因为 acosB+bcosA所以 c=acosB+bcosA师：这种证法显然简单，它避开了分类讨论你们知道为什么这种证法不用分类讨论吗？生：因为余弦定理本身适用于各种三角形例2 三角形ABC中，AB=2，AC=3，BC=4，求ABC的面积师：我们通常求三角形的面积要用公式这个题目，我们应该如何下手呢？生：可以用余弦定理由三边求出一个内角的余弦值，再用同角公式导出这个角的正弦后，最后代入三角形面积公式解 因为a=4，b=3，c=2，所以由sin2A+cos2A=1，且A为ABC内角，得例3 在三角形ABC中，若CB=7，AC=8，AB=9，求AB边的中线长请同学们先设计解题方案生甲：我想在ABC中，已知三边的长可求出cosB在BCD中，由BC=7，BD=4.5及cosB的值，再用一次余弦定理便可求出CD师：这个方案很好请同学很快计算出结果解 设D为AB中点，连CD在ACB中，由AC=8，BC=7，AB=9，得生乙：我们在初中碰到中线时，经常延长中线，所以我想延长中线CD到E，使DE=CD，想在BCE中解决已知BC=7，BE=AC=8，若再知道cosCBE，便可解决，但我不知怎样求cosCBE师：这个问题提得很有价值，请大家一起帮助学生乙解决这个难点(学生开始议论)生丙：连接AE，由于AD=DB，CD=DE，所以四边形ACBE为平行四边形，可得ACBE，CBE与ACB互补我能利用余弦定理求出cosBCA，再利用互补关系解出cosCBE师：大家看看他讲得好不好请大家用第二套方案解题解 延长CD至E，使DE=CD因为CD=DE，AD=DB，所以四边形ACBE是平行四边形所以BE=AC=8，ACB+CBE=180在ACB中，CB=7，AC=8，AB=9，由余弦定理可得在CBE中，这两种解法都是两次用到余弦定理，可见掌握余弦定理是十分必要的七、总结本节课我们研究了三角形的一种边角关系，即余弦定理，它的证明我们可以用解析法它的形式有两种，一种是用两边及夹角的余弦表示第三边，另一种是三边表示角余弦定理适用于各种三角形，当一个三角形的一个内角为90时，余弦定理就自然化为勾股定理或锐角三角函数余弦定理的作用如同它的两种形式，一是已知两边及夹角解决第三边问题；另一个是已知三边解决三内角问题注意在(0，)范围内余弦值和角的一一对应性若cos A0，则A为锐角；若cosA=0，则A为直角；若cosA0，则A为钝角另外本节课我们所涉及的内容有两处用到分类讨论的思想方法请大家解决问题时要考虑全面如果能回避分类讨论的，应尽可能回避，如用解析法证明余弦定理、用余弦定理证明例1等等八、作