辽宁省沈阳市第十五中学2020年高中数学论文 图形计算器应用能力测试活动学生 模拟运动员跳水

辽宁省沈阳市第十五中学2020年高中数学论文 图形计算器应用能力测试活动学生 模拟运动员跳水一、 研究背景由于观看电视转播，我发现在跳水项目中，运动员从跳板上直到跳入水中，划过了一条优美的曲线，于是我有了如下的思考：若将运动员视为质点，我们是否可以模拟出运动员跳水的场景。二、 研究目的模拟跳水场景，从而更透彻的理解函数的特性，才能更巧妙地运用函数。三、 研究方法利用图形计算器中函数图像功能，合理的运用函数定义域构建出运动员和背景的模型。再者在合理的变量范围内利用动态图的功能模拟出运动员跳水时的场景，从而完成运动员跳水的情景图。四、 研究过程1. 利用一次函数、正余弦函数和圆方程搭建好运动员和跳台2. 求出运动员跳水弧线的二次函数以及其一阶导数3. 计算过程中所需要用到的数据，如人的身体变化以及动态图合适的步长等4. 完成动态图，找出不足加以弥补、改进五、 实施步骤1. 跳台 由于跳板在图形计算机中难以模拟它的上下摆动，所以只能使用跳台，即一个长方形的平台。1. 游泳池游泳池的图像可用sin(x) 的图像来表示。根据尝试，y=0.5sin(2x)+2来表示波浪最为协调。又因为水是蓝色最好用蓝色的函数进行表示。同时写好定义域。2. 头部运动员的头部可看作圆，而在动态图的模式中无法一下子画出完整的圆，于是就可以考虑将两个半圆拼接起来形成一个完整的圆。同时要注意函数颜色。可以假设圆心为（2,9），圆的半径为0.25。圆的方程为（x-2）2+(y-9)2=1/16变形后易得两半圆的方程为：（由于计算机问题需要稍做改动）由于身体要随着运动员的跳水而改变动作，其中的过程较为复杂，简单的函数无法表示完全，所以我们将把它在动态函数图像中一起完成。3. 完成动态图首先我们假设运动员在空中的运动轨迹为抛物线，他入水时的坐标为（5,2），他的初始位置为（2,9），不妨设他跳起后的最高点为（3,10）。利用图形计算器的解方程组功能不难算出y=-5(A)2/3+28A/3-3(由于先前用过变量X，这里改用为A)所以运动员的头的运动轨迹便为以上所求函数，运动员的头的圆心坐标就是（A, -5(A)2/3+28A/3-3）因此我们将先前所求的圆的圆心改动整理后得： 在这之后，便可以对最复杂的运动员身体的运动轨迹进行探索。可以假设运动员的身体是一条线段，并始终指向他的头的圆心，那也就可以理解成运动员的身体一直与他的运动轨迹（即先前所求关于A的函数）相切。既然如此，我便可求一下关于A的函数的导数，这样就能够求出运动员身体（即线段）所在直线的斜率K=(-10/3)X+28/3，。又因为线段永远指向圆的圆心所以斜率K=y-5(A)2/3+28A/3-3/(x-A)，。 联立，得运动员身体运动轨迹y5：（这里的A与之前的A是同一变量，由于函数图像随着A的改变也在一起改变，所以这里的定义域也应是变量A）这时我们只要设定一下A的范围：（步长越小越能体现出动态感）模拟运动员跳水的效果图就出来了：六、补充为了使跳水的效果更加逼真，我们也曾想过让运动员入水的一瞬间加上水花。花的方程可以用双曲线来代替。在多次调试后得出合适的“水花”方程：但由于我们自身技术不到位，无法做到在入水瞬间溅起水花，最多也只能使水花跟着运动员一起移动。我们稍微将方程改动了一下：这样水花就能随着A的改变而上移了。七、 小结经过此次对运动员跳水的过程模拟，我们基本达成了研究目的，熟悉了对图形计算器函数及其动态函数的运用，由此引发了我们更深层次的思考：我们能否用图形计算器模拟出运动员的手上动作如果运用运动员身体的函数配合入水弧线的若干阶导数能否使运动员的身体在过程中发生弯曲。对于此类细节问题，今后我们还将进一步探究。这次探究中遇到了许多难题，但我们都努力一一克服，碰到自己无法解决的问题我们也会去询问老师或查找资料。虽然过程是辛苦的，虽然也有那么一点不完美，但是结果也是令人倍感欣慰的。我们将继续抱着不放弃的心态在此后的学习道路上越走越远。此外，我们还要感谢给了我们很大的帮助的指导老师。最后，我们也很感激能够利用卡西欧图形计算机进一步深入地研究函数的图像及其特性