高中数学 典型例题 直线的方程 新课标

典型例题一例1直线过点（1，3），倾斜角的正弦是，求直线的方程分析：根据倾斜角的正弦求出倾斜角的正切，注意有两解 解：因为倾斜角的范围是：又由题意：，所以：，直线过点（1，3），由直线的点斜式方程得到：即：或说明：此题是直接考查直线的点斜式方程，在计算中，要注意当不能判断倾斜角的正切时，要保留斜率的两个值，从而满足条件的解有两个典型例题二例2求经过两点（2，）和（，3）的直线方程分析：本题有两种解法，一是利用直线的两点式；二是利用直线的点斜式在解答中如果选用点斜式，只涉及到与2的分类；如果选用两点式，还要涉及与3的分类解：法一：利用直线的两点式方程直线过两点（2，）和（，3）（1）当时，点的坐标是（2，3），与点（，3）的纵坐标相等，则直线的方程是；（2）当时，点的坐标是（2，3）,与点（2，）的横坐标相等，则直线的方程是；（3）当，时，由直线的两点式方程得：法二：利用直线的点斜式方程（1）当时，点的横坐标相同，直线垂直与轴，则直线的；（2）当时，过点的直线的斜率是，又过点（2，）由直线的点斜式方程得过点的直线的方程是：说明：本题的目的在于使学生理解点斜式和两点式的限制条件，并体会分类讨论的思想方法典型例题三例3把直线方程化成斜截式_，化成截距式_分析：因为，即，按斜截式、截距式的形式要求变形即可解：斜截式为，截距式为+1说明：此题考查的是直线方程的两种特殊形式：斜截式和截距式典型例题四例4直线的倾斜角的取值范围是_分析：将直线的方程化为斜截式，得出直线的斜率，再由斜率和倾斜角的关系，得出关于的一个三角不等式即可解：已知直线的方程为，其斜率由，得，即由，得说明：解题易得出错误的结果，其原因是没有注意到倾斜角的取值范围典型例题五例5直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程分析：借助点斜式求解，或利用截距式求解解法一：由于直线在两轴上有截距，因此直线不与、轴垂直，斜率存在，且设直线方程为，令，则，令，则由题设可得，解得或所以，的方程为或故直线的方程为或解法二：由题设，设直线在、轴的截距均为若，则过点，又过点，的方程为，即：若，则设为由过点，知，故的方程综上可知，直线的方程为或说明：对本例，常见有以下两种误解：误解一：如下图，由于直线的截距相等，故直线的斜率的值为若，则直线方程为；若，则直线方程为故直线方程为或误解二：由题意，直线在两轴上的截距相等，则可设直线方程为由直线过点，得，即，也即方程为在上述两种误解中，误解一忽视了截距的意义，截距不是距离，它可正可负，也可以为0显见，当时，直线的两轴上的截距分别为1和1，它们不相等另外，这种解法还漏掉了直线在两轴上的截距均为0的这种特殊情形误解二中，没有注意到截距式方程的适用范围，同样也产生了漏解典型例题六例6已知在第一象限的中，、，求：(1)边的方程；(2)和所在直线的方程分析：(1)当直线与轴平行时或垂直时，不能用两点式求直线的方程(2)由图可知、的斜率，根据点斜式方程即可得出结果解：(1)如图，的方程为(2)由轴，且在第一象限知的斜率，的斜率所以，边所在直线的方程为，即边所在直线的方程为，即说明：(1)边是一条线段，要注意变量的取值范围(2)解题中，要注意画出图形，便于直观地得到所求直线所具备的条件典型例题七例7 若的顶点，求的平分线所在的直线的方程分析：两个条件确定一条直线要求的方程，已知点的坐标，只要再找出的斜率或点的坐标就可以了在三角形中，的平分线有下列性质：(1)；(2)上任一点到两边、的距离相等；(3)用其中任何一个性质，都可以确定第二个条件解法一：，分所成的比为设的坐标为，则：，即由两点式得的方程为，即解法二：直线到的角等于到的角，设的斜率为(或)，则有解得或（舍去）直线的方程为，即解法三：设直线上动点，则点到、的距离相等，即：，或结合图形分析，知是的角的外角平分线，舍去所以所求的方程为说明：(1)确定不同条件下的直线方程是高考的重要内容，其方法主要是待定系数法（如解法一、解法二）和轨迹法（如解法三）要熟练掌握直线方程各种形式间的相互转化点斜式是直线方程最重要的一种形式，要加强这方面的训练(2)解法三涉及到后面将要学到的知识这里先把它列出来，作为方法积累典型例题八例8 求过点且分别满足下列条件的直线方程：(1)与两坐标轴围成的三角形面积为5；(2)与轴和轴分别交于、两点，且分析：对于(1)，既可借助于截距式求解，也可以利用点斜式来求解；对于(2)，利用截距式求解较为简便解法一：设所求的直线方程为由直线过点，得，即又，故联立方程组解得或故所求直线方程为和，即：和解法二：设所求直线方程为，它与两坐轴的交点为，由已知，得，即当时，上述方程可变成，解得，或由此便得欲求方程为和(2)解：由是的分点，得设点、的坐标分别为，当是的内分点时，由定比分点公式得，再由截距式可得所求直线方程为当点是的外分点时，由定比分点公式求得，仿上可得欲求直线方程为故所求的直线方程为，或说明：对于(1)，应注意对题意的理解，否则，就较易得到，且，从而遗漏了的情形；对于(2)，应当区分内分点与外分点两种不同的情形必要时，可画出草图直观地加以分析，防止漏解求直线的方程时，除应注意恰当地选择方程的形式外，还应注意到不同形式的方程的限制条件如点斜式的限定条件是直线必须存在斜率；截距式的限定条件为两轴上的截距都存在且不为0；两点式的限定条件是直线不与轴垂直，也不与轴垂直除此以外，还应注意直线方程形式之间的相互转化典型例题九例9 已知两直线和的交点为，求过两点、的直线方程分析：利用点斜式或直线与方程的概念进行解答解法一：在已知直线上，即故所求直线方程为，即解法二：点在已知直线上，可见、都满足方程，过、两点的直线方程为说明：解法二充分体现了“点在直线上，则点的坐标满足直线方程；反之，若点的坐标满足方程，则直线一定过这个点”此解法独特，简化了计算量，能培养学生的思维能力典型例题十例10 过点引一条直线，使它在两条坐标轴上的截距为正值，且它们的和最小，求这条直线方程分析：利用直线方程的点斜式，通过两截距之和最小求出直线的斜率，从而求出直线方程或借助直线方程的截距式，通过两截距之和最小，求出直线在两轴上的截距，从而求出直线的方程解法一：设所求的直线方程为显见，上述直线在轴、轴上的截距分别为、由于，且可得直线在两坐标轴上的截距之和为：，当且仅当，即时，最小值为9故所求直线方程为，即解法二：设欲求的直线方程为(，)据题设有，令，有当且仅当时，即，且，也即，时，取等号故所求的直线方程为，即说明：在解法一中，应注意到这个隐含条件否则，由，将很有可能得出错误的结果如，等等在解法二中，应注意运算过程中的合理性，即讲究算理，不然，将会使运算过程不胜其繁如采取下述方法：由，用来表示，再代入中，把化归成的函数从解题思维方法上说无可厚非，但这种方法将使运算难度陡然增加不如保持本质、顺其自然好典型例题十一例11已知，其中、是实常数，求证：直线必过一定点分析与解：观察条件与直线方程的相似之处，可把条件变形为，可知，即为方程的一组解，所以直线过定点（6，4）说明：此问题属于直线系过定点问题，此类问题的彻底解决宜待学完两直线位置之后较好，当然现在也可以研究，并且也有一般方法典型例题十二例12直线过点（2，1），且分别交轴、轴的正半轴于点、点是坐标原点，（1）求当面积最小时直线的方程；（2）当最小时，求直线的方程解：（1）如图，设，的面积为，则 并且直线的截距式方程是 1由直线通过点（2，1），得 1所以:因为点和点在轴、轴的正半轴上，所以上式右端的分母由此得:当且仅当，即时，面积取最小值4，这时，直线的方程是:1即:（2）设，则，如图，所以 当45时有最小值4，此时，直线的方程为说明：此题与不等式、三角联系紧密，解法很多，有利于培养学生发散思维，综合能力和灵活处理问题能力动画素材中有关于此题的几何画板演示典型例题十三例13一根铁棒在20时，长10.4025米，在40时，长10.4050米，已知长度l和温度t的关系可以用直线方程来表示，试求出这个方程，并且根据这个方程，求这跟铁棒在25时的长度解：这条直线经过两点（20，10.4025）和（20，10.4050），根据直线的两点式方程，得： 即 0.002510.4000当25时 0.002510.40000.003110.400010.4031即当25时，铁棒长为10.4031米说明：直线方程在实际中应用非常广泛典型例题十三例13一根铁棒在20时，长10.4025米，在40时，长10.4050米，已知长度