高中数学 2.1.2《椭圆的几何性质》教案（4） 湘教版选修1-1

第四课时 椭圆的简单几何性质教学目标n 1、进一步理解并掌握椭圆的定义、标准方程n 2、能根据条件求出椭圆的标准方程n 3、进一步理解a、b、c、e的几何意义，会用几何性质解决有关问题n 4、在坐标法的基础上掌握点的轨迹条件满足某曲线的定义时，用待定系数法求其方程教学过程1、复习回顾A组椭圆的定义运用：ABC的周长为20，且B(4,0),C(4,0)，则点A的轨迹方程是_.x2/36+y2/20=1(y0)已知A(1,0),B(1,0)，线段CA、AB、CB的长成等差数列，则点C的轨迹方程是_. x2/4+y2/3=1过点A(0,2)，且与圆B：x2(y2)236内切的动圆圆心C的轨迹方程是_. x2/5+y2/9=1一动圆与圆A：(x3)2y21外切，与圆B：(x3)2y281内切，试求动圆圆心的轨迹方程。x2/25+y2/16=1椭圆x2/12y2/31的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，求点M的坐标。P是椭圆x2/100y2/641上的一点，F1、F2分别是焦点.如果F1PF260，求F1PF2的周长及面积；|PF1|PF2|的最大值。分析：考虑到F1PF260和三角形的面积SabsinC/2，只要求出|PF1|PF2|问题就可以解决了.|PF1|PF2|如何求？如果设P(x,y)，由点P在椭圆上且F1PF260，利用这两个条件，列出关于x、y的两个方程，解出x、y，再求F1PF2的面积，虽然思路清晰，但运算量过大，考虑到这是一个几何问题，能否利用图形的几何性质呢？椭圆的定义。考虑到|PF1|PF2|20，要求|PF1|PF2|的最大值，应用算术平均数与几何平均数定理即可。解：|F1F2|12，|PF1|PF2|20，F1PF2的周长为32设|PF1|m，|PF2|n,根据椭圆定义有mn20，在F1PF2中，F1PF260，由余弦定理得：m2n22mncos60144m2n2mn144，(mn)23mn144，mn256/3又SF1PF2|PF1|PF2|sin60/2，|PF1|PF2|20当且仅当|PF1|PF2|10时等号成立，|PF1|PF2|的最大值是100。已知点P为椭圆x2/25y2/91上的一点，F1、F2为椭圆的左焦点与右焦点，点P到左准线的距离为d1, 点P到右准线的距离为d2。若|PF1|3.5，则d2_；若|PF1|PF2|23，则点P的坐标是_；若d24.5，则d1_；若P(3,y)，则|PF1|_；若|PF1|PF2|，则点P的坐标是_；若点M(3,2)在椭圆内部，则|PM|5|PF2|/4的最小值是_。小结：点P(x0,y0)是椭圆x2/a2y2/b21上的一点，F1、F2为椭圆的左焦点与右焦点，点P到左准线的距离为d1, 点P到右准线的距离为d2，则d1a2/cx0, d2a2/cx0,|PF1|ed1aex0，|PF1|ed2aex0。充分利用定义设椭圆x2/a2y2/b21的两焦点为F1、F2，A1、A2为长轴的两个端点。P是椭圆上的一点，且F1PF260，求F1PF2的面积；若椭圆上存在一点Q，使A1QA2120，求椭圆离心率的范围。分析：在F1PF2中，F1PF260，|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos60即4c2|PF1|2|PF2|2|PF1|PF2，又|PF1|PF2|2a.|PF1|PF2|4(a2c2)/34b2/3设Q(x0,y0)，则x02/a2y02/b21，A1QA2120，不妨设A1(a.0),A2(a,0),点Q在x轴上方，又，y0b,即解得，e2=1-(b/a)22/3,。求经过点M(1,2)，以y轴为准线，离心率为1/2的椭圆左顶点的轨迹方程。分析：设左顶点的坐标为P(x,y)，则由椭圆的第二定义可得左焦点为(3x/2,y),又椭圆经过点M(1,2)，以y轴为准线，离心率为1/2，整理得：B组利用图形及图形性质解题若椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，则这个椭圆的离心率是（）D已知椭圆的一条准线方程是y9/2,则m等于（）AA、1B、2C、3D、7椭圆两焦点和中心将两准线间的距离四等分，则一焦点与短轴连线的夹角是（）CA、45B、60C、90D、120椭圆x2/100y2/361上的点P到它的左准线的距离是10，则点P到右焦点的距离是（）BA、15B、12C、10D、8中心在原点，离心率为，且一条准线的方程是y3的椭圆方程是_。x2/2y2/61点M与定点F(8,0)的距离和它到定直线x25/2的距离之比为45，则点M的轨迹方程是_。 x2/100y2/361归纳总结 数学思想：数形结合、类比的思想、特殊到一般 数学方法：图象法、化归法、待定系数法、换元法、辅助圆法 知识点：椭圆的定义、标准方程、椭圆中的最值问题作业设椭圆的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率，已知点P(0，3/2)到这个椭圆上的点的最远距离为，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P的距离为的点的坐标。第五课时教学目标1、掌握椭圆的几何性质，掌握用坐标法研究直线与椭圆的位置关系2、熟练地求弦长、面积、对称等问题3、培养对数学的理解能力及分析问题、解决问题的能力教学过程1、复习回顾椭圆的定义、几何性质判断直线与圆的位置关系的方法2、探索研究直线与椭圆的位置关系：坐标法(围绕直线与椭圆的公共点展开的)，将直线方程与椭圆方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，当0时，直线与椭圆相切；当0时，直线与椭圆相交；当0时，直线与椭圆相离。3、反思应用例1当m为何值时，直线l：yxm与椭圆9x216y2144相切、相交、相离？分析：将直线方程yxm代入椭圆9x216y2144中，得9x216(xm)2144，整理，得25x232mx16m21440，(32m)2425(16m2144)576m214400当0即m5时，直线与椭圆相切；当0即5m5时，直线与椭圆相交；当0即m5或m5时，直线与椭圆相离。例2已知斜率为1的直线l经过椭圆x24y24的右焦点交椭圆于A、B两点，求弦长|AB|。分析：设A(x1,y1),B(x2,y2)，由椭圆方程知：a2=4,b2=1,c2=3,右焦点,直线l的方程为，代入椭圆得小结：弦长公式例3过椭圆x2/16y2/41内一点M(2,1)引一条弦AB，使AB被点M平分，求弦AB所在直线的方程。解一：当弦AB的斜率不存在时，弦AB的方程为x=2，不合题意舍去设弦AB所在直线的方程为：y1k(x2)，代入椭圆方程并整理得(4k21)x28(2k2k)x4(k21)2160，又设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1、x2为方程的两个根，于是，又M为AB的中点，解之得k1/2，故所求弦AB的方程是x2y40解二：设A(x1,y1),B(x2,y2)，M(2,1)为AB的中点，x1x24,y1y22又A、B两点在椭圆上，x124y1216，x,224y2216，两式相减得x12x224(y12y22)0,故所求弦AB的方程是x2y40解三：设A(x,y)，由M(2,1)为AB的中点得B(4x,2y)A、B两点在椭圆上，x24y216，(4x)24(2y)216，两式相减得x2y40,由于过A、B的直线只有一条，故所求弦AB的方程是x2y40小结：解一常规解法；解二是解决有关中点弦问题的常用方法；解三利用曲线系解题。例4试确定实数m的取值范围，使椭圆x2/4y2/31上存在两点关于直线l：y2xm对称。解一：设存在A(x1,y1),B(x2,y2) 关于直线l：y2xm对称，故可设直线AB的方程为y2xt，代入椭圆方程x2/4y2/31，并整理得x2txt230，则t24(t23)0。解得2t2。x1x2t，AB的中点M为(t/2,3t/4),M在直线l上，3t/42t/2m,即mt/4,从而1/2m1/2.解二：设存在A(x1,y1),B(x2,y2) 关于直线l：y2xm对称，,则ABl，且AB的中点M在l上，设AB的中点M(x0,y0)，则x1x22x0,y1y22y0，又A、B两点在椭圆上，3x124y1212，3x,224y2212，两式相减得3(x12x22)4(y12y22)0,即y03x0/2,又y02x0m，解得x02m，y03m，点M在椭圆内，即m23m21，解得1/2m1/2.例5椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，过椭圆左焦点F的直线交椭圆于P、Q两点，且|PQ|20/9，OPOQ，求此椭圆的方程。解：设椭圆方程为x2/a2y2/b21(ab0)，左焦点F(c,0)当PQx轴时，|FP|FQ|b2/a，由OPOQ知|FO|FQ|，即cb2/a,aca2c2，即e2e10，解得，这与条件不符，PQ不垂直x轴设PQ：yk(xc)，P(x1,y1),Q(x2,y2)，设a2t,，则bt椭圆方程可化为x24y24t2(t0)，将直线PQ的方程代入椭圆方程得，则x1、x2为方程的根OPOQ，x1x2y1y20，即整理得：，整理得k24/11，此时|PQ|20/9，即所以所求椭圆方程为x2/4y