高中数学 浅谈立体几何引入法向量的快速解法素材

浅谈立体几何引入法向量的快速解法图1众所周知，解决立体几何问题，“平移是手段，垂直是关键”，向量的运算中：两向量的共线易解决垂直，两向量所成角及线段的长度等问题。一般来说，当掌握了用向量的方法解决立体几何问题这套强有力的工具，应该说不仅会降低了学习的难度，而且增强了可操作性，为我们的学习提供了崭新的视角，丰富了思维结构，消除了学习立体几何知识所产生的畏惧心理，有利于牢固对立几知识的掌握。角这一几何量本质上是对直线与平面位置关系的定量分析，其中转化的思想十分重要，三种空间角都可转化为平面角来计算，可进一步转化为向量的夹角求解。1、求两条异面直线所成的角：求所成的角（），再化为异面直线所成的角切记即：，其中分别是直线的方向向量。 例1、如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，求异面直线AB与CD所成角的大小；解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则异面直线AB与CD所成角的大小为评注：以向量为工具，利用空间向量的坐标表示，空间向量的数量积计算，异面直线所成角问题思路自然，解法灵活简便；另本题也可用传统方法（平移法）求解。例2、如图5所示，AF、DE分别是O、O1的直径.AD与两圆所在的平面均垂直，AD8,BC是O的直径，ABAC6，OE/AD,求直线BD与EF所成的角.解：以O为原点，BC、AF、OE所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示），则O（0，0，0），A（0，0），B（，0，0）,D（0，8），E（0，0，8），F（0，0）所以，设异面直线BD与EF所成角为，则直线BD与EF所成的角为2、求直线和平面所成的角：求与的法向量所成的角，则线面角是。利用此种方法的关键是求出平面的法向量。图2具体求法：设是斜线的方向向量，是平面的法向量，则斜线与平面所成的角是特别的：最小角定理：是斜线与平面内过斜足的直线所成的角；是线面角（斜线与射影）；是射影与过斜足的直线（面内）所成的角。例3、如图，在四棱锥中，底面为直角梯形， 底面，且，分别为、的中点。求与平面所成的角。解:如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，则因为，所以，又因为，所以平面因此的余角即是与平面所成的角.，因为，所以与面所成的角为.例4、如图，在棱长为1的正方体中，是侧棱上的一点，.试确定，使得直线与平面所成角的正切值为；解、建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(1，1，0)，P(0，1，m)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，B1(1，1，1)，D1(0，0，1)所以又由知，为平面的一个法向量。设AP与平面所成的角为，则。依题意有解得。故当时，直线AP与平面所成的角的正切值为。图3甲3、求二面角：范围：二面角的求法有棱二面角：三步法-作（先作平面的垂线，过垂足作棱的垂线，连线）、证、算射影面积公式：法向量法：方法一：构造二面角的两个半平面的法向量（都取向上的方向，如图3所示），则图3乙 若二面角是“钝角型”的如图3甲所示，那么其大小等于两法向量的夹角的补角，即 若二面角是“锐角型”的如图3乙所示，那么其大小等于两法向量的夹角，即图4方法二：在二面角的棱上确定两个点，过分别在平面内求出与垂直的向量（如图4所示），则二面角的大小等于向量的夹角，即 分别是的法向量，则二面角的平面角在内，在内，则二面角的平面角无棱二面角：方法一：无棱变有棱（延长、连线找到棱）射影面积公式：（大题一般按不可轻易使用）例5、三棱锥的三条侧棱两两垂直