湖北省荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2020届高三数学下学期2月月考试题 文（含解析）

湖北省“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”2020届高三数学下学期2月月考试题 文（含解析）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确答案填涂在答题卡上.1.集合，=（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由A与B，找出两集合的交集即可【详解】，AB，故选：C【点睛】本题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键，属于基础题2.复数，（i为虚数单位），z在复平面内对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】先将化简运算得到，再由对应点的坐标得出结果.【详解】由题意知，其对应点的坐标为（，），在第二象限故选：B【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3.命题则为（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题的否定p为x0，故选：C【点睛】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基本知识的考查4.已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，过的直线与椭圆C交于A，B两点若的周长为8，则椭圆方程为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用椭圆的定义，可求解a，由椭圆的离心率求得c，即可得到b，得到结果.【详解】如图：由椭圆的定义可知，的周长为4a，4a=8,a=2,又离心率为，c=1，b2，所以椭圆方程为,故选：A【点睛】本题考查椭圆的定义及简单性质的应用，属于基础题5.正的边长为1，则（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先化简，再利用平面向量的数量积公式计算得解.【详解】解：正的边长为1，.故选：B【点睛】本题主要考查向量的数量积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6.若，满足，则的最大值为（ ）A. 0B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】试题分析：由图可得在处取得最大值，由最大值，故选C.考点：线性规划.【方法点晴】本题考查线性规划问题，灵活性较强，属于较难题型.考生应注总结解决线性规划问题的一般步骤（1）在直角坐标系中画出对应的平面区域，即可行域；（2）将目标函数变形为；（3）作平行线：将直线平移，使直线与可行域有交点，且观察在可行域中使最大（或最小）时所经过的点，求出该点的坐标；（4）求出最优解：将（3）中求出的坐标代入目标函数，从而求出的最大（小）值.7.设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数，将组成a的3个数字按从小到大排成的三位数记为I（a），按从大到小排成的三位数记为D（a），（例如a=746，则，）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a，输出的结果b=（）A. 693B. 594C. 495D. 792【答案】C【解析】【分析】给出一个三位数的a值，实验模拟运行程序，直到满足条件，确定输出的a值，可得答案【详解】由程序框图知：例当a123，第一次循环a123，b321123198；第二次循环a198，b981189792；第三次循环a792，b972279693；第四次循环a693，b963369594；第五次循环a594，b954459495；第六次循环a495，b954459495，满足条件ab，跳出循环体，输出b495故答案为：495【点睛】本题通过新定义题型考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法，属于基础题8.已知函数，则下列说法错误的是（）A. 的最小正周期是B. 关于对称C. 在上单调递减D. 的最小值为【答案】B【解析】【分析】由三角函数恒等变换化简解析式可得f（x）sin（2x），由正弦函数的图象和性质一一判断选项即可【详解】f（x）sin2x+sinxcosxsin2xsin（2x）最小正周期T，故A正确；最小值为故D正确；x时，2x，在上单调递减，故C正确；x=时，f（）=sin=，此时函数值不是最值，不关于对称，故B错误；故选B.【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了正弦函数的图象和性质，属于中档题9.“斗拱”是中国古代建筑中特有的构件，从最初的承重作用，到明清时期集承重与装饰作用于一体。在立柱顶、额枋和檐檩间或构架间，从枋上加的一层层探出成弓形的承重结构叫拱，拱与拱之间垫的方形木块叫斗。如图所示，是“散斗”（又名“三才升”）的三视图，则它的体积为（ ）A. B. C. 53D. 【答案】B【解析】【分析】由已知三视图先还原几何体，得到组合体，再利用柱体，台体的体积公式计算可得到答案【详解】由已知中的三视图可得该几何体下半部分是一个下底面边长为3上底面边长为4的正方形、高为1的棱台，上半部分为一个棱柱，截去中间一个小棱柱，所得的组合体，如图：棱台的体积为：=）=，上半部分的体积为：=1.51=248=16，V=，故选B.【点睛】本题考查的知识点是由三视图还原几何体，考查了棱台、棱柱的体积公式，解决本题的关键是还原几何体，属于中档题10.在平面直角坐标系中，点满足，则的最小值为（）A. 4B. 3C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意可得点的轨迹方程为a2+b2=4，再结合不等式求得最值.【详解】点（）满足，=，即+=+，化简得a2+b2=4，则+)=4+1+=5+4=9，（当且仅当=等号成立）的最小值为,故选D.【点睛】本题考查了不等式求最值，考查了动点轨迹求法及应用，考查转化能力，属于中档题型11.设是双曲线的左右焦点，点是右支上异于顶点的任意一点，是的角平分线，过点作的垂线，垂足为，为坐标原点，则的长为（ ）A. 定值B. 定值C. 定值D. 不确定，随点位置变化而变化【答案】A【解析】【分析】先画出双曲线和焦点三角形，由题意可知是TF1的中垂线，再利用双曲线的定义，数形结合即可得结论【详解】依题意如图，延长F1Q，交PF2于点T，是F1PF2的角分线TF1是的垂线，是TF1中垂线，|PF1|PT|，P为双曲线1上一点，|PF1|PF2|2a，|TF2|2a，在三角形F1F2T中，QO是中位线，|OQ|a 故选：A【点睛】本题考查了双曲线的定义的运用以及双曲线标准方程的意义，解题时要善于运用曲线定义，数形结合的思想解决问题，属于中档题12.已知函数，若对于，使得，则的最大值为（）A. eB. 1-eC. 1D. 【答案】D【解析】【分析】不妨设f()=g()a，从而可得的表达式，求导确定函数的单调性，再求最小值即可【详解】不妨设f()=g()a，a，ln(a+e)，故ln(a+e)-，（a-e）令h（a）ln(a+e)-，h（a），易知h（a）在（-e，+）上是减函数，且h（0）0，故h（a）在a处有最大值，即的最大值为；故选：D【点睛】本题考查了函数的性质应用及导数的综合应用，考查了指对互化的运算，属于中档题二、填空题.13.函数，若，则x=_【答案】【解析】【分析】对从外到内进行求解，先令f（x）t，则f（t）10，求解t，再由f（x）t，求解x，得到结果【详解】函数，令f（x）t，则f（t）10，当t0时，f（t）t2+110，解得t3或t3（舍）；当t0时，f（t）2t10，解得t5，不合题意t3f（x）-3，又，只能，解得x=1，符合，故答案为：1【点睛】本题考查分段函数值的求法，解题时要注意每一段中x的范围，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题14.掷两颗均匀的骰子，则点数之和为6的概率等于_【答案】【解析】【分析】抛掷两颗骰子所出现的不同结果数是6636，列举出满足条件的基本事件，根据概率公式计算即可.【详解】掷两颗均匀的骰子，共有36种基本事件，点数之和为6的事件有（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）这五种，因此所求概率为，故答案为【点睛】本题考查了古典概型概率的求法，属于基础题15.已知圆C经过直线与圆的交点，且圆C的圆心在直线上，则圆C的方程为_【答案】【解析】【分析】设所求圆的方程为：（x2+y24）+a（x+y+2）0即x2+y2+ax+ay4+2a0，由圆心在直线求出a的值，即可求出圆的方程.【详解】设所求圆的方程为：（x2+y24）+a（x+y+2）0即x2+y2+ax+ay4+2a0，圆心（，），由圆心在直线，-a+a-6圆的方程为x2+y2-6x-6y160，即故答案为.【点睛】本题考查圆的方程的求法，考查了曲线系，属于中档题16.如图，在凸四边形中，则四边形的面积最大值为_【答案】【解析】【分析】连接AC，在三角形ACD中，运用余弦定理，可得AC，再由三角形的面积公式，结合两角差的正弦公式，以及正弦函数的值域，即可得到所求最大值【详解】连接AC，在三角形ACD中，由余弦定理可得AC2AD2+CD22ADCDcosD16+4242cosD2016cosD，在三角形ABC中，三角形ABC为等边三角形，又四边形ABCD的面积为SSABC+SACDAC2ADCDsinD（2016cosD）+4sinD5+4（sinDcosD）5+8sin（D60），当D6090，即D150时，sin（D60）取得最大值1，四边形ABCD的面积取得最大值为故答案为【点睛】本题考查余弦定理的运用，辅助角公式的运用以及正弦函数的值域，考查运算能力，属于中档题三、解答题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.数列是单调递增的等差数列，是方程的两实数根；（1）求数列的通项公式；（2）设，求的前n项和【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）将看成一个整体，利用一元二次方程的解法、等差数列的通项公式即可得出；（2）先利用对数恒等式解得，再利用等比数列求和即可得出【详解】（1），或4，又是递增等差数列，所以， ，公差d=，所以. （2），.【点睛】本题考查了指数与二次的复合方程的解法、等差数列的通项公式、等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18.如图1，矩形中，M是边上异于端点的动点，于点N，将矩形沿折叠至处，使面面（如图2）点E，F满足（1）证明：面；（2）设，当x为何值时，四面体的体积最大，并求出最大值【答案】（1）见证明；（2）当时，取得最大值.【解析】【分析】（1）在面内，过点F作FG交于点G，连接GE.根据线线平行得面及面，从而得到面面，可证得结论；（2），则BM=2-x，ME=GM=，可证面MEC，得，由二次函数求得最值即可.【详解】（1）在面内，过点F作FG交于点G，连接GE.，又面，FG面面. 由得，同理可证得面.又，面，面面，又面，面（2），则BM=2-x，ME=GM=，面面MBCN，面面MBCN=NM，面， 则面MBCN,即面MEC，又GF面MEC，当时，取得最大值.【点睛】本题考查了立体几何中的折叠问题及三棱锥的体积最值问题，其中（1）的关键是作出平面与已知面平行，（2）的关键是构造出三棱锥的体积V的表达式，属于中档题.19.为积极响应国家“阳光体育运动”的号召，某学校在了解到学生的实际运动情况后，发起以“走出教室，走到操场，走到阳光”为口号的课外活动倡议.为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，从高一高二基础年级与高三三个年级学生中按照的比例分层抽样，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时），得到如图所示的频率分布直方图.（1）据图估计该校学生每周平均体育运动时间.并估计高一年级每周平均体育运动时间不足4小时的人数；（2）规定每周平均体育运动时间不少于6小时记为“优秀”，否则为“非优秀”，在样本数据中，有30位高三学生的每周平均体育运动时间不少于6小时，请完成下列列联表，并判断是否有的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间是否“优秀”与年级有关.”基础年级高三合计优秀非优秀合计300附：.参考数据：0.1000.0500.0100.0052.7063.8416.6357.879【答案】（1）运动时间5.8小时，人数30人 （2）见解析【解析】【分析】（1）由频率直方图求出各组频率，利用平均数公式计算平均体育运动时间，再利用分层抽样中的比例计算高一年级的总人数，再由频率直方图前两组频率计算高一每周平均体育运动时间不足4小时的人数；（2）由题意得到列联表，计算出临界值，可得结论【详解】（1）该校学生每周平均体育运动时间 高一年级每周平均体育运动时间不足4小时的人数: （2）列联表如下：基础年级高三合计优秀10530135非优秀10560165合计21090300假设该校学生的每周平均体育运动时间是否优秀与年级无关，则又.所以有99%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间是否“优秀”与年级有关”【点睛】本题考查的知识点是独立性检验，频率分布直方图的应用及分层抽样，是统计和概率的综合应用，难度中档20.已知点，点为曲线C上的动点，过A作x轴的垂线，垂足为B，满足（1）求曲线C的方程；（2）直线l与曲线C交于两不同点P，Q（非原点），过P，Q两点分别作曲线C的切线，两切线的交点为M设线段的中点为N，若，求直线l的斜率【答案】（1）（2）k=【解析】【分析】（1）将坐标化，化简求得结果.（2）设直线的方程为： ，与抛物线方程联立得，由韦达定理求得中点N的坐标，由导数的几何意义可求得过点的切线方程，联立求得交点的坐标，得到,所以MN中点纵坐标为1，即2，进而求得k.【详解】（1）由得：化简得曲线的方程为.（2）由题意可知直线l的斜率存在，设直线的方程为：，联立得：设，则， 设，则，又曲线的方程为，即y=,=，过点的切线斜率为，切线方程为y-，即y=同理，过点的切线方程为y=，联立两切线可得交点的坐标为， 所以,又因为，所以MN中点纵坐标为1，即2,k=,故直线的斜率为k=【点睛】本题考查了曲线方程的求法，训练了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了整体运算思想方法，是较难题21.设（1）求的单调区间；（2）讨论零点的个数；（3）当时，设恒成立，求实数a的取值范围【答案】(1) 的单调递增区间为，单调递减区间为。(2)见解析；(3) 【解析】【分析】（1）直接对原函数求导，令导数大于0，解得增区间，令导数小于0，解得减区间；（2）先判断是f(x)的一个零点，当时，由f(x)=0得，对函数求导得的大致图像，分析y=a与交点的个数可得到函数f（x）的零点个数（3）不等式恒成立转化为函数的最值问题，通过变形构造出函数h(x)=f(x)-ag(x)，通过研究该函数的单调性与极值，进而转化为该函数的最小值大于等于0恒成立，求得a即可.【详解】（1），当时，递增，当时，g(x)递减,故的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）是f(x)的一个零点，当时，由f(x)=0得，当时，递减且，当时，且时，递减，时，递增，故，,大致图像如图，当时，f(x)有1个零点；当a=e或时，f(x)有2个零点；当时， 有3个零点. （3）h(x)=f(x)-ag(x)=x，,设的根为，即有，可