高中数学《充分条件与必要条件》文字素材2 新人教A版选修1-1

充要条件的判断策略充要条件是高中数学“常用逻辑用语”中的重要概念，它的应用贯穿于数学的各个分支，在其他学科以及生产实践中都有着广泛的应用。同时，充要条件也是高中数学中的一个难点，亦是高考中常考不衰的热点题型。为此，本文针对充要条件的判断，分类解析，并归纳出相应的解题思路，以供参考。1、利用定义判断（1）若，则是的充分条件，是的必要条件； （2）若且，则是的充分而不必要条件；（3）若且，则是的必要而不充分条件；（4）若且，则是的充要条件；（5）若且，则是的即不充分也不必要条件。例1判断下列各题中，是的什么条件。（1）。（2）：四边形的四边相等；：四边形是正方形。解：（1）；（当时，“”不成立）。是的充分而不必要条件。（2）四边形是正方形四边形的四边相等；四边形的四边相等 四边形是正方形（当四边形是内角不为直角的菱形时，“”不成立）。是的必要而不充分条件。 2、利用真值表判断“或”、“且”、“非”是三个最基本的逻辑联结词。“或”的含义是：一真必真，都假才假；“且” 的含义是：一假必假，都真才真。真假真假假假真真假真假假假假真真真真真真由于复合命题是由简单命题与逻辑联结词“或”、“且”、“非”等构成的，因此利用真值表判断充要条件时，关键是能够将一个复合命题写成逻辑联结词“或”、“且”、“非”连接的与之等价的复合命题的形式。例2判断命题是或的什么条件。解：即且。由真值表知：真真真，但真真。是或的充分而不必要条件。3、利用集合间的包含关系判断设满足条件的元素构成集合A，满足条件的元素构成集合B。（1）若，则是的充分条件；（2）若，则是的充要条件；（3）若，则是的充分而不必要条件；（4）若，则是的即不充分也不必要条件；（5）若且，则是的即不充分也不必要条件。例3判断命题是命题的什么条件。解：解不等式得满足的元素集合为，满足的元素集合为。，故是的充分而不必要条件。例4判断命题是命题有公共点的什么条件。解：满足的元素集合为，由数形结合得满足的元素集合为。，故是的必要而不充分条件。 4、利用传递性判断（1）充分条件具有传递性：若，则，即是的充分条件；（2）必要条件具有传递性：若，则，即是的必要条件。例5设是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，是的充要条件，问是的什么条件？解：是的充分不必要条件，即且。是的必要不充分条件，即且。是的充要条件，即。且，故是的必要不充分条件。 5、利用互为逆否命题的等价性判断 这是一种“正难则反”的策略，直接判断较难时将命题转化为逆否命题来判断。 例（1）判断且是的什么条件；（2）判断或是的什么条件。解：（1）原命题等价于判断是的条件，显然 ， ，故是的即不充分也不必要条件。（2）原命题等价于判断是的条件，显然， ，故是的即必要而不充分条件。充要条件所涉及的问题及解法充分条件、必要条件和充要条件是重要的数学概念，主要用来区分命题的条件p和结论q之间的关系. 所涉及的问题及解决方法主要有：(1)要理解“充分条件”“必要条件”的概念：当“若p则q”形式的命题为真时，就记作pq，称p是q的充分条件，同时称q是p的必要条件，因此判断充分条件或必要条件就归结为判断命题的真假.(2)要理解“充要条件”的概念，对于符号“”要熟悉它的各种同义词语：“等价于”，“当且仅当”，“必须并且只需”，“，反之也真”等.(3)数学概念的定义具有相称性，即数学概念的定义都可以看成是充要条件，既是概念的判断依据，又是概念所具有的性质.(4)从集合观点看，若AB，则A是B的充分条件，B是A的必要条件；若A=B，则A、B互为充要条件.(5)证明命题条件的充要性时，既要证明原命题成立(即条件的充分性)，又要证明它的逆命题成立(即条件的必要性).下面例举几例加以说明.例1已知p：|1|2,q:x22x+1m20(m0),若p是q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围.分析：利用等价命题先进行命题的等价转化，搞清晰命题中条件与结论的关系，再去解不等式，找解集间的包含关系，进而使问题解决.解：由题意知：命题：若p是q的必要而不充分条件的等价命题即逆否命题为：p是q的充分不必要条件.p:|1|2212132x10q:x22x+1m20x(1m)x(1+m)0 *p是q的充分不必要条件，不等式|1|2的解集是x22x+1m20(m0)解集的子集.又m0，不等式*的解集为1mx1+m，m9，实数m的取值范围是9，+.评述：本题以含绝对值的不等式及一元二次不等式的解法为考查对象，同时考查了充分必要条件及四种命题中等价命题的应用，强调了知识点的灵活性.本题解题的闪光点是利用等价命题对题目的文字表述方式进行转化，使同学们对充要条件的难理解变得简单明了.例2已知数列an的前n项Sn=pn+q(p0,p1),求数列an是等比数列的充要条件.分析：由an=关系式去寻找an与an+1的比值，但同时要注意充分性的证明.解：a1=S1=p+q.当n2时，an=SnSn1=pn1(p1)，p0,p1,=p若an为等比数列，则=p，=p,p0，p1=p+q，q= 1，这是an为等比数列的必要条件.下面证明q=1是an为等比数列的充分条件.当q=1时，Sn=pn1(p0,p1)，a1=S1=p1当n2时，an=SnSn1=pnpn1=pn1(p1)an=(p1