高中数学 考前归纳总结 直线和圆的易错题剖析

直线和圆的易错题剖析例题1、求过点且与两坐标所围成的三角形面积为4的直线方程。 错解：设所求直线方程为。在直线上， 又，即 ， 由、得,故所求直线方程为。 剖析：本题的“陷阱”是直线与两坐标轴所围成的三角形面积的表示。上述解法中， 由 于对截距概念模糊不清，误将直线在x轴和y轴上的截距作距离使用而掉入“陷 阱”。事实上，直线与两坐标轴所围成的三角形面积为，而不是。 故所求直线方程应为： ，或或。例题2、求过点且与x轴的交点到的距离是的直线方程。错解：设直线斜率为k，其方程为， 则与x轴的交点为， ，解得。 故所求直线的方程为。 剖析：题中仅考虑了斜率存在的情况，忽视了斜率不存在的情况，即经过A且垂直于x 轴的直线，落入“陷阱”。其实也符合题意。例题3、求过点且横、纵截距相等的直线方程。 错解：设所求方程为，将代入得， 从而得所求直线方程为。 剖析：上述错解所设方程为，其中不含横、纵截距为0的特殊情形，事实上， 横、纵截距为0且过点的直线 也符合条件。例题4、已知圆的方程为，一定点为，要使过A点作圆的切线有两条，求的取值范围。 错解：将圆的方程配方得： ， 其圆心坐标为C（，1），半径r 。 当点A在圆外时，过点A可作圆的两条切线，则 。 即 。即，解得。 剖析：本题的“陷阱”是方程表示圆的充要条件，上述解 法仅由条件得出，即，却忽视了的另一制约条件 。事实上，由及可得的取值范围是 （）。例题5、已知直线与曲线有两个公共点，求实数的取值范围。错解：由，消去得：。 （ * ） 与曲线C有两个公共点， ， 解得b 剖析：上述解法忽视了方程y =中y 0 ， 1 x 1这一限制条件， 得出了错误的结论。 事实上，曲线C和直线L有两个公共点等价于方程（*）有两个不等的非负实根。 ，解得1 b 。例题6、等腰三角形顶点是，底边的一个端点是，求另一个端点C的轨迹方 程。 错解：设另一个端点的坐标为，依题意有： =，即：= ，即为C点的轨迹方程。 这是以A（4，2）为圆心、以为半径的圆。 剖析：因为A、B、C三点为三角形三个顶点，所以A、B、C三点不共线，即B、C不能 重合，且不能为圆A一直径的两个端点，这正是解题后没有对轨迹进行检验，出 现增解，造成的解题错误。 事实上，C点的坐标须满足，且， 故端点C的轨迹方程应为(。 它表示以（4，2）为圆心，以为半径的圆，除去（3，5）（5，-1）两点。例题7、求的最大值和最小值，使式中满足约束条件： 错解：作出可行域如图1所示，过原点作直线L0：3 x + 5 y = 0 。 由于经过B点且与L0平行的直线与原点的距离最近，故在B点取得最小值。解方程组， 得B点坐标为（3，0）， 。 由于经过A点且与L0平行的直线与原点的距离最大， 故z = 3x + 5y在A点取得最大值。 解方程组，得A点坐标为（，）。 。 剖析：上述解法中，受课本例题的影响，误认为在对过 原点的直线L0的平行移动中，与原点距离最大的 直线所经过的可行域上的点，即为目标函数Z取 得最大值的点。反之，即为Z取得最小值的点， 并把这一认识移到不同情况中加以应用，由此造 成了解题失误。 事实上，过原点作直线L0：3x + 5y = 0，由于使 的区域为直线L0的 右上方，而使z = 3x + 5y 0的区域为L0的 左下方。由图知应在A点取得最大值，在C点取得最小值。 解方程组，得C（2，1）。 z最小3（2）5（1）= 11。例8、已知曲线C：与直线L：仅有一个公共点，求m的范围。错解：曲线C：可化为（1），联立，得： ，由0,得。剖析：方程（1）与原方程并不等价，应加上。 故原方程的对应曲线应为椭圆的上半部分。（如 图），结合图形易求得m的范围为 。 在将方程变形时应时时注意范围的变化，这样才不 会出错。例9、设双曲线的渐近线为：，求其离心率。错解：由双曲线的渐近线为：，可得：，从而剖析：由双曲线的渐近线为是不能确定焦点的位置在x轴上的，当焦点的位 置在y轴上时，故本题应有两解，即：或。例10、直线L：与圆O：相交于A、B两点，当k变动时，弦AB 的 中点M的