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文档简介

抛物线中一类定点弦问题摘 要：抛物线是圆锥曲线中较为特殊的一种曲线。焦点弦、定点弦等是圆锥曲线中常见的一类问题。利用向量的知识解决解析几何问题是新课程，新教材所赋予的新解法。关键词：抛物线，定点，垂直，通径 定理1：已知EF是与抛物线C：相交的一条动直线，AB是抛物线的通径，A（p/2,p）,B(p/2,-p) （1）当，其中时，直线EF过定点M（5p/2,-p） （2）当，其中时，直线EF过定点N（5p/2, p） 定理2：（1）若抛物线C：（p0）的一条动直线过M（5p/2,-p），与抛物线交于E,F两点，点A是抛物线通径的一个端点坐标为（p/2,p），则必有： （2）若抛物线C：（p0）的一条动直线过N（5p/2,p），与抛物线交于E,F两点，点B是抛物线通径的一个端点坐标为（p/2,-p），则必有： 先证明定理1， 证明：由题意可设： 直线AE的方程为： 直线AF的方程为： 由直线AE的方程和抛物线C的方程联立： 解之得：E点坐标为（,）, A（p/2,p） 由直线AF的方程和抛物线C的方程联立： 解之得：F点坐标为（,）, A（p/2,p） 则)， -2kp) 又因为 （）*（-2kp）= ()*= 所以 （）*（-2kp）= ()* 所以 / 又与共点M 所以 M , E , F三点共线。即直线EF过定点M（5p/2,-p）。 同理，可证明（2）也成立。定理2可看成定理1的逆定理。下证之： 证明：由题意知过点M的直线与抛物线交与两点，所以直线不平行于x轴。 可设直线方程为： (mR) 与抛物线方程联立构成方程组 消去x得 y2=2pmy+2mp2+5p2 移项得 y2 2pmy 2mp2 5p2 =0 解之得 y1=pm + p y2= pm p 带入解得 X 1= pm2 + pm+ mp + X2= pm2 pm+ mp + 即点E的坐标为（pm2 + pm+ mp + ，pm + p） 点F的坐标为（pm2 pm+ mp + ，pm p） 则 =（pm2 + pm+ mp+2p，pm + p p） = (pm2 pm+ mp+2p, pm p p) 因为（pm2 + pm+ mp+2p）*（pm2 pm+ mp+2p） =（pm2 + mp+2p）2 （pm）2 = p2m4+2p2m3+p2m2+4p2+4p2m2+4p2m p2m4 2p2m3 5p2m2 = 4 p2m+4p2 （pm + p p）*（pm p p） =（pm p）2 （p）2 = p2m2 2 p2m + p2 p2m2 2 p2m 5p2 = 4 p2m4p2 所以 （pm2 + pm+ mp+2p）*（pm2 pm+ mp+2p） = （pm + p p）*（pm p p） 即 同理可证（2）也成立。由作图我们会发现，由A,B,M,N四点所确定的四边形是以抛物
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