高中数学《幂函数》教案2 湘教版必修1

幂函数一、教学目标1、了解简单幂函数的概念，巩固画函数图像的方法，培养学生识图和画图的能力。2、会利用定义证明简单函数的奇偶性，提高学生的逻辑思维能力。3、了解利用奇偶性画函数图像和研究函数的方法，培养学生分析问题和解决问题的能力。二、重难点重点是奇函数和偶函数的概念及函数奇偶性的判定。难点是幂函数的概念及判断函数的奇偶性。（一）新课引入：在初中我们已学过正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数，这一节课我们将再学习一种新的函数幂函数，引出课题。（二）新课讲授：1、先看下面几个具体问题：（1）如果张红购买了每千克1元的蔬菜x千克，那么她需要支付y=x元，这里y是x的函数。（2）如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S=a2，这里S是a的函数。（3）如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长，这里a是S的函数。（4）如果某人t秒内骑车行进了1km，那么他骑车的平均速度V=t-1km/S，这里V是t的函数。请同学们思考：这些函数有什么共同的特征？（主要观察函数中的常数和变量的位置，右边解析式的形式）结果：他们有以下共同特点（1）指数为常数；（2）均是以自变量为底的幂；（3）幂的系数为1，由此可得：一般地，函数y=xa叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数。注：幂函数中a的值可以为任意实数例1：判断下列函数是否为幂函数（1）y=x4；（2）y=；（3）y=x2；（4）y=；（5）y=2x2；（6）y=x3+2；2、观察下图，思考并讨论以下问题：（1）这两个函数图象有什么共同特征吗？（2）函数中自变量取相反的两个数时对应的两个函数值之间有何关系？f(x)=x2 f(x)=|x| f(3)=9=f(3) f(3)=3=f(3)f(2)=4=f(2) f(2)=2=f(2)f(1)=1=f(1) f(1)=1=f(1)结论：一般地，图象关于y轴对称的函数叫做偶函数，在偶函数中f(-x)=f(x)。3、观察函数f(x)=x和f(x)=的图象（下图），你能发现两个函数图象有什么共同特征吗？f(x)=x f(x)= f(3)=3=f(3) f(3)= =f(3)f(2)=2=f(2) f(2)= =f(2)f(1)=1=f(1) f(1)=1=f(1)结论：一般地，图象关于原点对称的函数称为奇函数，在奇函数中，有f(x)=f(x)。注意：（1）若一个函数是奇函数或偶函数则称函数具有奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质。（2）由函数奇偶性的定义可知：对于定义域内的任意一个x，则x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。（3）f(x)定义域内任意的x若f(x)=f(x)成立，则f(x)为奇函数若f(x)=f(x)成立，则f(x)为偶函数（4）若f(x)为奇函数，f(0)要么为0，要么不存在，即y=f(x)，xA，若0A，则f(0)=0；若0A，则f(0)不存在。（5）若f(x)为偶函数，则f(x)=f(x)=f(|x|)。（6）若f(x)为奇函数，则f(x)在a，b与b，a具有相同的单调性，若f(x)为偶函数，则f(x)在a，b与b，a具有相反的单调性。例2：判断下列函数的奇偶性（1）f(x)=x+；（2）f(x)=；（3）f(x)=x3+1解：（1）定义域为x|x0又f(x)=x+=(x+)=f(x)即f(x)=f(x) f(x)是奇函数（2）定义域为x|x0又f(x)=f(x)即f(x)=f(x) f(x)是偶函数（3）定义域为R，f(x)=(x)3+1=x3+1x3+1即f(x)= f(x) 又x3+1(x3+1) 即f(x)f(x)f(x)既不是奇函数也不是偶函数一般地，判断函数奇偶性的步骤如下： （1）先求定义域，看是否关于原点对称；（2）再判断f(x)=f(x)或f(x)=f(x)是否恒成立。（三）课堂练习判断下列函数的奇偶性（1）f(x)=x； （2）f(x)=x2+1；（3）f(x)=x+1； （4）f(x)=x2 x1，3；（四）本课小结1、幂函数的定义：一般地，函数y=xa叫幂函数，其中x是自变量，a是常数。2、奇偶函数的定义：函数的图象关于原点对称f(x)为奇函数函数的图象关于y轴对称f(x)为偶函数3、奇、偶函数的性质：对于f(x)定义域内的任意一个x如果都有f(x)=f(x)f(x)为奇函数如果都有f(x)=f(x)f(x