高中数学一轮复习 不等式选讲VIP

选修45 不等式选讲随堂演练巩固1.对于R,不等式|x+10|-|x-2|的解集为 . 【答案】 【解析】 令y=|x+10|-|x-2|= 则可画出其函数图象如图所示: 由图象可以观察出使的x的范围为. |x+10|-|x-2|的解集为. 2.（2020江西高考，理15）对于实数x,y,若|x-1|y-2|1,则|x-2y+1|的最大值为 . 【答案】 5 【解析】 |x-2y+1|=|x-1-2(y-2)-2|x-1|+2|y-2|+1+2+2=5. 3.设函数f(x)=|2x-4|+1. (1)画出函数y=f(x)的图象;(2)若不等式的解集非空,求a的取值范围. 【解】 (1)由于f(x)= 则函数y=f(x)的图象如图所示. (2)由函数y=f(x)与函数y=ax的图象可知,当且仅当或a-2时,函数y=f(x)与函数y=ax的图象有交点,故不等式的解集非空时,a的取值范围为. 4.设a,b是非负实数,求证: . 【证明】 由a,b是非负实数,作差得 . 当时从而 得; 当abc,且a+b+c=0,证明:. 【证明】 c)0. abc,a+b+c=0, a-c0,2a+c=a+(a+c)=a-b0, 即知(a-c)(2a+c)0.故. 6.已知求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能同时大于. 【证法一】 假设三式同时大于 即有 三式同向相乘,得(1-a)a(1-b)b. 又. 同理. (1-a)a(1-b与假设矛盾, 结论正确. 【证法二】 假设三式同时大于 0a0, . 同理都大于. 三式相加,得矛盾. 原命题成立. 课后作业夯基 基础巩固1.若不等式|x+1|+|x-2|对任意R恒成立,则a的取值范围是 . 【答案】 【解析】 方法一:|x+1|+|x-2|(x+1)-(x-2)|=3, 使原不等式恒成立的a的取值范围是. 方法二:|x+1|+|x-2|表示数轴上一点A(x)到B(-1)与C(2)的距离之和,而|BC|=3, |AB|+|AC|. 方法三:设f(x)=|x+1|+|x-2|= f(x)的图象如图所示, . 2.不等式|的解集是 . 【答案】 【解析】 |=|, 而恒成立, 原不等式等价于 即2x-6,x-3. 原不等式的解集为. 3.（2020天津高考，理13）已知集合A=R|x+3|+|x-4|9,B=R|,则集合 . 【答案】 x| 【解析】 解不等式|x+3|+|x-4|. (1)当x4时,|x+3|+|x-4| 即. 综上所述,A=R|. 当且仅当时等号成立. B=R|. R|R|=R|. 4.如果关于x的不等式|x-3|-|x-4|-1 【解析】 a(|x-3|-|x-4|令y=|x-3|-|x-4|, 由几何意义得故a-1. 5.若不等式|a-2|+1对于一切非零实数x均成立,则实数a的取值范围是 . 【答案】 (1,3) 【解析】 |a-2|+12, 即|a-2|1,解得1a4. 【解法一】 由|3x-2|4,得3x-24, 即或x2. 所以原不等式的解集为x|或x2. 【解法二】 (数形结合法): 画出函数y=|3x-2|= 的图象,如下图所示: |3x-2|=4,解得x=2或 |3x-2|4时或x2. 原不等式的解集为x|或x2.7.解不等式:|x|+|2x+7|5. 【解】 当时,-x-(2x+7)-4,-4;当时,-x+2x+75,x-2,x0时,x+2x+7舍去.原不等式的解集为(-4,-2). 8.若关于x的不等式x+|x-1|有解,求实数a的取值范围. 【解】 设f(x)=x+|x-1|,则f(x)= 所以f(x)的最小值为1. 所以当时有解, 即实数a的取值范围是. 9.解不等式x+|2x-1|0. (1)当a=1时,求不等式的解集; (2)若不等式的解集为x|,求a的值. 【解】 (1)当a=1时可化为|x-1|. 由此可得或. 故不等式的解集为x|或-1. (2)由得|x-a|. 此不等式化为不等式组 或 即 或 因为a0,所以不等式组的解集为x|. 由题设可得故a=2. 12.已知且求证:若a,b,c成等差数列,则不可能成等差数列. 【证明】 假设成等差数列,则化简得b(a+c)=2ac. 因为a,b,c成等差数列,所以a+c=2b. 把代入,得由此得. 这与相矛盾,因此假设不成立,故原命题正确. 13.(2020安徽高考,理19)(1)设证明x+y+; (2)设证明loglogloglogloglog. 【证明】 (1)由于所以. 将上式中的右式减左式,得yxy(x+y)+1 y)-(x+y) =(xy+1)(xy-1)-(x+y)(xy-1) =(xy-1)(xy-x-y+1) =(xy-1)(x-1)(y-1). 既然所以(xy-1)(x-1. 从而所要证明的不等式成立. (2)设loglog由对数的换底公式得loglogloglog. 于是,所要证明的不等式即为 其中x=loglog. 故由(1)可知所要证明的不等式成立.拓展延伸14.已知函数f(x)=|x-a|, (1)若不等式的解集为x|,求实数a的值; (2)在(1)的条件下,若对一切实数x恒成立,求实数m的取值范围. 【解法一】 (1)由得|x-a|解得a+3. 又已知不等式的解集为x|, 所以 解得a=2. (2)当a=2时,f(x)=|x-2|. 设g(x)=f(x)+f(x+5),于是 g(x)=|x-2|+|x+3|= 所以当x5; 当时,g(x)=5; 当x2时,g(x)5. 综上可得,g(x)的最小值为5. 从而,若 即对一切实数x恒成立, 则m的取值范围为. 【解法二】