高中数学一轮复习 第3讲 定积分与微积分基本定理

第3讲 定积分与微积分基本定理1.设连续函数f(x)0,则当ab时,定积分dx的符号( ) A.一定是正的 B.一定是负的 C.当0ab时是正的,当ab0,可知dx表示x=a,x=b,y=0与y=f(x)围成的曲边梯形的面积. dx0.2. (1+cosx)dx等于( )A.B.2C.-2D.+2【答案】 D【解析】 (1+cosx)dx=(x+sinx)| sinsin. 3.用S表示图中阴影部分的面积,则S的值是( ) A. dxB.| dx| C. dx+dxD. dx-dx 【答案】 D 【解析】 由定积分的几何意义知选项D正确. 4.(2020山东荷泽模拟)设函数的导函数f(x)=2x+1,则dx的值等于( ) A.B.C.D. 【答案】 A 【解析】 由于的导函数为f(x)=2x+1,所以于是dx=dx=|. 5.直线y=2x+3与抛物线所围成的图形面积为 . 【答案】 【解析】 由 得. 面积S=dx-dx |. 1. dx等于( ) A.-2ln2B.2ln2C.-ln2D.ln2 【答案】 D 【解析】 dx=lnx|ln4-ln2=ln2. 2.(2020福建高考,理5) edx等于( ) A.1B.e-1C.eD.e+1 【答案】 C 【解析】 被积函数e的一个原函数为e edx=(e|ee0)=e. 3.已知f(x)= 则dx的值为 ( ) A.B.C.D. 【答案】 D 【解析】 dx=dx+dx | . 4.函数f(x)= 的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为( ) A.B.1C.2D. 【答案】 A 【解析】 根据定积分的几何意义结合图形可得所求的封闭图形的面积为 cosxdx sinx| sinsin0 . 5.函数y=cosdt( ) A.是奇函数B.是偶函数 C.是非奇非偶函数D.以上都不正确 【答案】 A 【解析】 y=(sin|sin为奇函数. 6.(2020湖南高考,理6)由直线与曲线y=cos x所围成的封闭图形的面积为( ) A.B.1 C.D. 【答案】 D 【解析】 结合图形可得: S=cosxdx=sin x| =sin sin . 7.由曲线围成的封闭图形的面积为( ) A.B.C.D. 【答案】 A 【解析】 因为与的交点为(0,0),(1,1), 故所求封闭图形的面积为 dx-d| 选A. 8.曲线与直线y=x,x=2所围成的图形面积为 . 【答案】 ln2 【解析】 S=dlnx)|ln2. 9.如果dx=1, dx=-1,则dx= . 【答案】 -2 【解析】 dx=dx+dx, dx=dx-dx=-1-1=-2. 10.由曲线和直线x=0,x=1,y=所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值为 . 【答案】 【解析】 围成图形的阴影部分的面积dx+dx. 令S解得或t=0(舍去). 可判断当时S最小. 11.计算下列定积分. (1) dx; (2) dx; (3) (sinx-sin2x)dx. 【解】 (1) dlnx)| lnln2. (2) dx=dx lnx+2x)| ln3+6)-(2+ln2+4) =ln. (3) (sinx-sin2x)dx=(-coscos2x)| . 12.已知f(x)为二次函数,且f(-1)=2,f(0)=0,dx=-2. (1)求f(x)的解析式; (2)求f(x)在-1,1上的最大值与最小值. 【解】 (1)设则f(x)=2ax+b. 由f(-1)=2,f(0)=0, 得 即 . 又dx=dx |. a=6,c=-4.从而. (2) 当x=0时; 当时,. 13.如图所示,直线y=kx分抛物线与x轴所围图形为面积相等的两部分,求k的值. 【解】 抛物线与x轴两交点的横坐标为 所以,抛物线与x轴所围图形的面积 S=d|. 又由 可得抛物线与y=kx两交点的横坐标为所以, d|.又知所以于是.14.一条水渠横断面为抛物线型,如图,渠宽AB=4米,渠深CO=2米,当水面距地面0.5米时,求水的横断面的面积.