高中数学第四届全国青年教师优秀课观摩大赛 平面向量的数量积及运算律的教案

56 平面向量的数量积及运算律一、教学目标 1.正确理解平面向量的数量积的概念，能够运用这一概念求两个向量的数量积，并能根据条件逆用等式求向量的夹角；2.掌握平面向量的数量积的5条重要性质及运算律，并能运用这些性质解决有关问题；3.通过平面向量的数量积的概念，几何意义，重要性质及运算律的应用，培养学生的应用意识.二、教学重点，教学难点教学重点 平面向量的数量积的概念、重要性质及运算律教学难点 平面向量的数量积的重要性质及运算律的理解和应用.三、教 具 三角尺，实物投影仪，多媒体四、教学方法启发引导式本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的性质及运算律，然后通过习题加深学生对于平面向量数量积的认识.五、教学过程（一）设置情境复习：前面我们已经学过：向量的加法，减法，实数与向量的积。它们有一个共同的特点，即运算的结果还是向量，但这些运算与实数的运算已有了很大的区别。引入：在物理课中，我们学过功的概念，即如果一个物体在力F的作用下产生位移S，那么力F所做的功W可由下式计算：WFScos （其中是F与S的夹角.)问：力F和位移S分别是什么量？功W呢?从力所做的功出发，我们引入向量数量积的概念.（二）讲授新课师：我们首先来学习平面内两个向量的夹角.1平面向量的夹角：B已知非零向量与，作，则AOB(0)叫向量与的夹角. AOAB特殊：(1)当0时，与同向； BOA(2)当时，与反向； （3)当时，与垂直，记； (4)注意在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的. （教师用教具演示）2、平面向量数量积定义：师：已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作：，即：规定：零向量与任意向量的数量积为0，即：注意：（1）表示数量而不表示向量，符号由决定； （2）符号“”在数量积运算中既不能省略也不能用“”代替（3）在运用数量积公式解题时,一定要注意向量夹角的取值范围是：3、平面向量数量积的几何意义：BB师：你能从图中作出的几何图形吗？表示的几何意义是什么？bbbBqqa(B1)AOaB1AOB1A生：如图，过的终点B作=的垂线段BB1，垂足为B1，则由直角三角形的性质得：|OB1|=；同理：q为钝角或直角也可作（如图， ）。所以叫做向量在方向上的投影；叫做向量在方向上的投影.师：因此我们得到的几何意义：向量与的数量积等于的长度与在的方向上的投影的积.注意：1投影也是一个数量，可正，可负，可为0； 2 当q为锐角时投影为正值；3当q为钝角时投影为负值； 4 当q为直角时投影为0；4、平面向量数量积的重要性质：设向量,都是非零向量,是与方向相同的单位向量,向量与向量和夹角为，则： (利用填空形式引导学生总结，并利用定义每写一条证一条)(1)(2) （判定两向量垂直的充要条件）(3)当,方向相同时，当,方向相反时，特别的：或 （用于计算向量的模）(4) （用于计算向量的夹角,以及判断三角形的形状 ）(5)5.平面向量数量积的运算律:（1）（2）数乘向量的结合律：() =() = ()（3）分配律：( + ) = + （引导学生利用数量积的定义证明）O不满足结合律: （作为思考题留给学生课余去证明）（三）例题讲解例1、 求证：（1） （2）例2、 （四）巩固练习1、判断正误，说明理由。若=，则对任一向量，有=0；若则对任一，有0；若，=0，则；若=0，则，中至少有一个为；对任一向量，有； 2、已知=4， =5，当/与的夹角为时，分别求与的数量积。（五）归纳小结：1、平面向量的夹角： （1）两向量要共起点； （2）范围：2、平面向量的数量积定义和几何意义；3、熟练掌握两个向量数量积的5个重要性质 ；4、平面向量的数量积的运算律。课外作业：P130 3、4、5思考题：四边形ABCD中，且。试问四边形ABCD的形状。板书设计平面