2019-2020学年高中数学 第3章 三角恒等变换 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式导学案 新人教A版必修4

31.3二倍角的正弦、余弦、正切公式教材研读预习课本p132134，思考以下问题1二倍角的正弦、余弦、正切公式是什么？公式如何推导？2联系已学公式，考虑cos2，sin2有哪几种变形方法？要点梳理二倍角公式自我诊断判断(正确的打“”，错误的打“”)1二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角()2存在角，使得sin22sin成立()3对任意角，总有tan2.()答案1.2.3.思考：二倍角公式的应用过程中“角”与三角函数式的“次数”是如何变化的？提示：从倍角到半角，三角函数式的次数变为原来的两倍，从半角到倍角，三角函数式的次数变为原来的一半求下列各式的值：(1)sincos；(2)12sin2750；(3)；(4)cos20cos40cos80.思路导引(1)考查正弦的二倍角公式；(2)考查余弦二倍角公式；(3)考查正切二倍角公式；(4)需分子分母同乘2sin20，凑正弦的二倍角公式求解解(1)原式.(2)原式cos(2750)cos1500cos(436060)cos60.(3)原式tan(2150)tan300tan(36060)tan60.(4)原式.二倍角公式的关注点(1)对“二倍角”应该有广义的理解，如：4是2的二倍角，是的二倍角，3是的二倍角等(2)公式逆用：主要形式有2sincossin2，sincossin2，cos，cos2sin2cos2，tan2.(3)化简求值关注四个方向：分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异【温馨提示】在使用二倍角公式时要特别注意公式中的系数，防止出错跟踪训练求下列各式的值(1)sinsin；(2)cos215cos275；(3)2cos21；(4).解(1)sinsincos，sinsinsincos2sincossin.(2)cos275cos2(9015)sin215，cos215cos275cos215sin215cos30.(3)2cos21cos.(4)tan60.已知cos，求cos的值思路导引由cos的值，可求sin，然后由二倍角公式，分别求出cos2和sin2，最后由两角和的余弦公式求解解，0，.sin.cos2sin2sincos2，sin2cos12cos2122.coscos2sin2.解决条件求值问题的方法解决条件求值问题，要注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向：(1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；(2)寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系跟踪训练(1)已知sinsin，求sin4的值；(2)已知sin22sin2coscos21，求锐角.解(1)sinsinsincos，sin，即cos2.，2(，2)sin2.sin42sin2cos22.(2)由原式，得sin22sin2cos2cos20，(2sincos)22sincos22cos20.2cos2(2sin2sin1)0.2cos2(2sin1)(sin1)0.为锐角，cos20，sin10.2sin10.sin，.思考：二倍角公式中的sin2，cos2能否用tan来表示？提示：能sin22sincos，cos2cos2sin2. (1)求证：tan4a.(2)化简：.思路导引证明时应从较复杂的左边式子入手，利用二倍角公式化简，从而得到右边解(1)证明：左边22(tan2a)2tan4a右边，tan4a.(2)解法一：原式tan.解法二：原式tan.在本例(1)的证明中，左边出现的是角2a,4a的三角函数，而右边出现的是角a的三角函数因此在从左向右推证的过程中，应该是向单角a的三角函数转化，即“看角”在本例(2)的化简中，将1cos2，1cos2逆用二倍角公式向单角的三角函数值转化是常用的解题思路因此要熟悉常见的二倍角公式的变形跟踪训练化简.解解法一：原式1.解法二：原式1.课堂归纳小结1本节课的重点是二倍角的正弦、余弦、正切公式，难点是公式的应用2要掌握二倍角公式的三个应用：(1)给角求值问题，见典例1；(2)条件求值问题，见典例2；(3)三角函数式的化简与证明，见典例3.3要牢记二倍角公式的几种变形(1)sin2xcoscos2cos2112sin2；(2)cos2xsinsin2sincos；(3)cos2xsinsin2sincos.1sin4cos4等于()a b c. d.解析原式cos答案b2.等于()atan2btanc1 d.解析原式tan2答案a3设sin2sin，则tan2的值是_解析sin22sincossincos，tan2tantantan.答案4已知cos，则sin2x_.解析cossin2而sin2xcoscos2sin2.答案5求值：(1)sin50(1tan10)_；(2)_.解析(1)sin50(1tan10)sin50sin501.(2)原式.答案(1)1(2)课内拓展课外阅读1三角函数式的化简一看“角”：通过分析角之间的差异与联系，把角进行合理拆分，从而正确使用公式；二看“函数名称”：尽可能统一函数名，如弦切互化；三看“结构特征”：分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有分式通分、根式的被开方数升幂去根号等化简下列各式：(1)(0)；(2)2.解(1)原式.0，00，原式cos.(2)2222cos42(cos4sin4)2sin4.点评对于含有根式的三角函数式，化简一般采用升幂公式转化后开根号，若含有常数可用某些三角函数值代换2三角函数式的求值三角函数式的求值是三角变换中常见题型，它分为非条件求值(特殊的化简)和条件求值条件求值中又有给值求值和给值求角，此类问题的关键是把待求角用已知角表示：(1)已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差(2)已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍”的关系或“互余互补”的关系(3)对于角还可以进行配凑，常见的配凑技巧有：2()()()()，.已知0，tan，cos().(1)求sin的值