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江西省上饶县中学2020学年高中数学奥林匹克竞赛训练题（210）（无答案）第一试一、填空题（每小题8分，共64分）1.设函数，实数、满足，则= 。2.已知数列满足，记则= 。3.已知椭圆的右焦点为F，P为椭圆上一点，点，当的周长最大时，的面积为 。4.已知AB是以为圆心且与函数图像有公共点的所有圆中半径R最小的圆的一条直径，O为原点，则 = .5.抽屉中装有红、蓝两种颜色的短袜，总数不超过2020只，随机取出两只短袜，其同色的概率为，则抽屉中红袜数量的最大值为 。6.在中，点D在边AB上，BD=1，且DA=DC,则 7.已知半径为的球的球心O为正四面体的中心，且球O的球面被四面体的四个面截得的曲线总长度为，则四面体的体积为 。8.已知非负整数数列满足，且若项数不少于2，则其中任意两项均不相等，那么，这样的数列的个数为 。二、解答题9.设为方程的三个根，证明10.已知抛物线的焦点为F，M为圆上一点，以F为圆心、FM为半径作，直线与切于点M，与抛物线C交于A、B两点，直线（异于直线）分别过点A、B且与相切，证明11.对任意2020个复数，均有，其中，求的最大值。加试一、如图1，AD、BE分别为锐角的边BC、AC上的高，AB的中点为M，直线DE与的外接圆交于点F、K，线段MK、MF分别与的外接圆交于点P、Q（异于点M），证明:A、P、Q、B四点共圆。二、已知存在整数，使得。求所有可能的的值及相应的整数解三、设为正整数，为奇数，证明存在正整
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