高中数学：《数学的极限及运算》学案（旧人教版选修2）（贵州适用）（通用）

高三数学的极限及运算高三数学的极限及运算 人教版人教版选修选修 2 2 【本讲教育信息本讲教育信息】 一. 教学内容： 高三数学选修（II） 数列的极限及运算 目标：理解数列极限的描述性定义，掌握数列极限的四则运算法则。 重点：会判断无穷数列的极限，会进行简单运算。 难点：利用简单数列的极限求较为复杂数列的极限。 知识点： 1. 数列极限的定义（描述性） ； 2. 四则运算法则。 1. 对无穷数列an，当项数 n 无限增大时，数列的项 an无限趋近于某个常数 a，则称数列 an有极限，常数 a 叫an的极限，记为lim n n aa 2.limlim若，则 n n n n aabb lim()lim()lim() n nn n nn n n n ababa bab a b a b b ，0 注：注：（1）以上法则只适用于有限个数列的运算； （2）基本数列的极限： limlimlim(| |) nnn n n ccaa 1 001； 例 1. 下列数列中，存在极限的数列是（）aa nn A aB a n C a n D aqq n n n n nn n . () . () .cos.(| |) 11 2 11 4 1 解：解：直接由定义判断选 B A、C 是周期数列；D. an无限增大（n） 例 2. 已知 ， ， ，则当时，的极限为（）a n n n n n na nn 1 100 1 100 A. 0B. 1C. 0 或 1D. 不存在 解：解：选 A 例 3. 考察下列数列an的极限： （ ）（ ）1 1 2 23 3 1 a n n a nn nn n 解：解：（ ）1 111 22 a n nnn n 且limlimlimlim nnnn nnnn 1 0 111 0 2 lim n n a0 （ ）2 2 3 3 1 2 3 3 2 3 1an n n ( ) ( )| limlim( )lim n n n n n a 2 3 33 例 4. 求下列数列的极限 （ ）1 51 25 2 2 lim n n nn （ ）2 1 4 3 4 21 4 444 lim() n nn n n 解：解：（ ）原式1 5 1 2 15 5 2 2 2 lim n n nn （ ）2 1 4 121 2 4 1 1 4 1 4 2 4 4 a n n n n n n n n () lim n n a1 注：注：不能直接按和的运算法则求解。 例 5. 已知，求常数 、lim() n n ann bn ab 2 21 2 1 2 解：解：an ann bn bnnann bn ba nn bn n 2 21 2 2421 2 221 2 2222 () 且lim n n a 1 20 2 4 2 ba b a b 注：注：若 an的分子、分母是关于 n 的多项式，则 lim n n a nn b a 0（分子中 的次方低于分母中 的次方） （同次） 不存在（分子次方高于分母次方） 例 6. 已知，若存在，且，求limlim()limananana n n n n n n n 211 解：解：limlim() n n n n nana n n 21 21 lim()lim n n n na n n 21 21 1 1 1 例 7. 求下列数列的极限 （ ）（ ）1 23 23 2 122 2 2 1 1 aa t t n nn nn n n nn () 解：解：（ ）1 2 3 3 2 2 3 1 3limlim ( ) ( ) n n n n n a （ ）2 12 12 2 21 2 1 1 a tt n n nn n nn limlim (| |) () (| |) n n n n nn a t t t t 21 2 22 12 02 1 例 8. 若无穷等比数列an的任一项等于它以后各项之和的两倍，求公比 q。 解：解：设aaa a q nnn n 2 2 1 12 1 () 则1 2 1 1 3 q q q 注：注：等比数列当时，| |limqSaaaS a q n n n 1 1 12 1 由此公式可简化运算，如lim() n n n 2 1 3 1 9 1 27 1 1 3 2 1 3 1 1 3 2 1 4 7 4 【模拟试题模拟试题】 1. 求下列极限： lim() n nnn n n 14732 2222 2. 若lim n nn ann 2 2 1 43 4，则常数 a 的值是（ ） A. 0B. 4C. 1 4 D. 1 4 3. 若M m m mN m m nZ n n m n lim() ()lim() () 1 1 1 为常数 ，为常数，则 M+N 等 于（ ） A. 2B. 0C. 1D. 不存在 4. 若()12 9 x 展开式的第 3 项为 288，则lim() n n xxx 111 2 的值是（ ） A. 2B. 1C. 1 2 D. 2 5 5. 已知数列an的前 n 项和为Sn，且aSn anN nn1 2 1，()，下面Sn的表达式正 确的是（ ） A. S n n n 2 1 B. S n n n 21 1 C. S n n n 21 1 D. S n n n 2 2 6. 若极限lim() n n xx 2 2存在，则实数 x 的取值范围是（ ） A. 1212， B. ()()121112， C. ()1212， D. )(121112， 7. 设Sn n n 1 7 2 7 1 7 2 7 1 7 3 2 1 1 2 234 ()，则lim n n S 的值为（ ） A. 1 16 B. 1 4 C. 9 16 D. 3 16 8. 已知等比数列xn的公比为 q，且有lim() n n x q q 1 1 1 2 ，则首项x1的取值范围是 _。 9. 若lim()lim() n nn n nn abab 3486