高中数学论文应用三角形的面积巧解竞赛题

应用三角形的面积巧解竞赛题三角形是几何中最基本的多边形。在求其它多边形问题时，经常把多边形问题化归成三角形问题来求解。特别是三角形的面积，在解题中更是应用广泛。下面就举例说明。一、 知识点回顾：三角形的面积公式：三角形的面积等于底乘以其边上的高的一半。性质：1、等底同高的两个三角形，面积相等。2、同底等高的两个三角形，面积相等。3、等底等高的两个三角形，面积相等。请同学们仔细体会解题过程中的“设而不求”的奇妙。二、应用举例例1、如图1所示，矩形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，点P在矩形ABCD内若AB4cm，BC6cm，AECG3cm，BFDH4cm，四边形AEPH的面积为5cm2，则四边形PFCG的面积为_cm208年浙江省初中数学竞赛初赛试题解法1、如图2所示，连接EH、HG、GF、FE，在矩形ABCD中，因为，DH=BF，BE=DG，B=D，所以，BEFDGH，所以，EF=GH，同理可证，AEHCFG，所以，EH=GF，所以，四边形EFGH是平行四边形，因为，SAEH=AEAH=23=3= SCFG，SDGH=DHGH=41=2 =SDGH，所以, S四边形EFGH=24-2(3+2)=14,所以，SEPH+ SPGF =7，因为，四边形AEPH的面积为5cm2，所以，SEPH=2，所以，SPGF =5，所以，SPGF + SCFG=5+3=8，即四边形PFCG的面积为8cm2。解法2、如图3所示，连接PA、PC，过点P分别作MNAB，交AD于点M，交BC于点N；ORBC，交AB于点O，交DC于点R，则四边形ABNM、四边形OBCR都是矩形，设PM=x，PN=4-x，PO=y，PR=6-y，因为，SPAH=PMAH=2x=x，SPAE=AEPO=3y=y，因为，四边形AEPH的面积为5cm2，所以,x+y=5，SPFC=FCPN=2(4-x)= 4-x，SPCG=CGPR=3(6-y)=9-y，因为，四边形PFCG的面积= SPFC+ SPCG=4-x+9-y=13-（x+y）=13-5=8，即四边形PFCG的面积为8cm2。解法2、如图3所示，连接PA、PC，过点P分别作MNAB，交AD于点M，交BC于点N；ORBC，交AB于点O，交DC于点R，则四边形ABNM、四边形OBCR都是矩形，设PM=x，PN=4-x，PO=y，PR=6-y，因为，SPAH=PMAH=2x=x，SPAE=AEPO=3y=y，因为，四边形AEPH的面积为5cm2，所以,x+y=5，SPFC=FCPN=2(4-x)= 4-x，SPCG=CGPR=3(6-y)=9-y，因为，四边形PFCG的面积= SPFC+ SPCG=4-x+9-y=13-（x+y）=13-5=8，即四边形PFCG的面积为8cm2。例2、如图5，点A在平行四边形BCDE的对角线上，试判断之间的大小关系（ ）A B C D无法确定（08年广东省初中数学竞赛初赛试题）解析：如图6所示，连接EC，与BD的交点设为G，过点E作EFBD，垂足为F，过点C作CHBD，垂足为H，因为，四边形BCDE是平行四边形，所以，BEDDCB，所以，SBED=SDCB，因为，四边形BCDE是平行四边形，所以，EG=CG，因为，EFG=CHG=90,EGF=CGH所以，EFGCHG，所以，EF=CH，因为，三角形AED和三角形ACD有相同的底AD，并且有相等的高，所以，SEAD=SCAD，所以，SBED- SEAD= SDCB -SCAD，即S1=S2，所以，选择A。例3如图7所示，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点P在AD上，PEAC于E，PFBD 于F，则PE+PF等于（ ）（08年广东省初中数学竞赛初赛试题）A B C D解析：如图8所示，连接PO，因为，四边形ABCD是矩形，所以，SAOD=34=3,AO=DO,因为，SPAO=AOPE，SPOD=DOPF，SAOD= SPOD+ SPAO=AOPE+DOPF=DO（PF+PE），所以，DO（PF+PE）=3，因为，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，所以，BD=5，因此，DO=,所以，PF+PE=，因此，选择B。例4、如图9所示，正方形ABCD的边长为2，点E在AB边上，四边形EFGB也为正方形， 设AFC的面积为S，则（ ）AS=2 BS=2.4 CS=4 DS与BE长度有关（08年广东省初中数学竞赛初赛试题）解析：如图10所示，设FC与AB的交点为H，BH=x，因为，四边形ABCD、四边形BGFE都是正方形，所以，BHGF,所以,BHCGFC,所以,所以, ,所