数学人教版必修4(B)任意角的三角函数

任意角的三角函数知识网络 任意角的三角函数结构简图画龙点晴概念任意角 由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形叫做任意角. 旋转开始时的射线叫做角的始边，旋转终止时的射线叫做角的终边. 射线的端点叫做角的顶点.正角、负角，零角: 按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，一条射线没有作任何旋转，我们也认为这时形成了一个角, 这个角叫做零角.终边相同的角 : 两个角的始边重合终边也重合时。称这两个角为终边相同的角. 所有与角终边相同的角，连同角在内(而且只有这样的角)，可以用式子k+（k来表示.角的分类: 由旋转方向不同而产生的角可分为：正角、负角、零角；由终边位置不同而产生的角可分为象限角、轴线角；象限角: 在直角坐标系中, 使角的顶点与坐标原点重合, 角的始边与轴的正半轴重合, 角的终边落在第几象限,就说这个角是第几象限的角(或说这个角属于第几象限).象限角的表示方法： 第一象限角： | kk+900，k 第二象限角：| k+900k+1800，k 第三象限角：| k+1800k+2700，k 第四象限角：| k+2700k+3600，k 轴线角的表示方法:终边在x轴上的角：|=k，k 终边在y轴上的角：|=k+900，k 终边在坐标轴上的角：|=k+900，k 活用实例例1 写出与-1200终边相同的角的集合，并求出该集合中适合不等式-72007200的角。题解 与-1200终边相同的角的集合为|=k-1200，k ，令-72007200，解得，又k，则k= -1，0，1，2所以适合-72007200的角为-4800，-1200，2400，6000.例2 已知、是锐角，且+的终边与角-2800终边相同，-的终边与角6700终边相同，求角与的大小。题解 由题意得+-2800，-+6700，（）又、都是锐角， 00+1800，-900-900，+=800，-= -500， 。角度制: 周角的为1度的角.角度做单位来度量角的制度叫做角度制.弧度制: 等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角,角弧度做单位来度量角的制度叫做弧度制.说明: (1)正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0;(2)角a的弧度数的绝对值 （为弧长，为半径）;(3)用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0）， 用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。(4)角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系。正角零角负角正实数零负实数 任意角的集合 实数集R角度制与弧度制的换算: 由360=2prad 得 1=; 活用实例例3把化成度.题解 =例4 已知四边形的四个内角之比是1：3：5：6，分别用角度和弧度将这些内角的大小表示出来。题解 设四边形的四个内角分别为，则有=3600，得=240，所以这四个角分别为240，720，1200，1440， 即这四个角分别为.公式扇形的弧长公式：由 (其中为弧长, 为扇形的半径, 为扇形的圆心角). 扇形的面积公式：S=(其中为弧长, 为扇形的半径, 为扇形的圆心角).活用实例例5 直径为20cm的圆中，求下列各圆心所对的弧长 : .题解 由已知得半径 , :. : .oAB例6 如图，已知扇形的周长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。题解 设扇形的半径为r，弧长为，则有 扇形的面积.例7 已知扇形的周长为30 cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？题解 设扇形的圆心角为，半径为r，弧长为，面积为S，则有+2r=30，则=30-2r，,当r=时，扇形面积的最大值是，此时（弧度）.概念三角函数的定义: 设a是一个任意角，在a的终边上任取（异于原点的）一点P（x ,y），则P与原点的距离为(即).则比值、叫做a的正弦、余弦、正切、余切、正割和余割，记作：、. 说明：（1）角是“任意角”，当b=2kp+a(kZ)时，b与a的同名三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等；（2）实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用；（3）三角函数是以“比值”为函数值的函数；（4），而x,y的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号应由象限确定。（5）对于一个确定的角，上面六个比值的大小和P点在角的终边上的位置无关。此外，对于一个确定的角，上面六个比值都各是一个确定的实数。这就是说，正弦、余弦、正切、余切、正割和余割分别可以看成一个角的集合到一个比值的集合的映射，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，所以它们总称为三角函数。三角函数的定义域：当自变量用弧度制来度量角所得到的实数时，三角函数的定义域见下表：三角函数的符号：由三角函数的定义和各象限内点的坐标符号，角的三角函数的符号如图所示。 活用实例例8 已知角a的终边经过P(4,-3),求2sina+cosa的值; 已知角a的终边经过P(4a,-3a),(a0)求2sina+cosa的值.题解 由定义 ： sina= - cosa= 2sina+cosa= -.若 则sina= - cosa= 2sina+cosa=-;若 则sina= cosa= - 2sina+cosa=.原式=或-.例9 求函数的定义域.题解 要使函数有意义,必须 所以 故函数的定义域为例10 若sin0，则 在（ ） A第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第一、四象限 D. 第二、四象限题解1sin0等价于sin与cos有相同的正负符号，所以在第一、三象限，故选B.题解2由题设cos0，故cos20，从而原不等式等价于0，即tan0，所以在第一、三象限，故选B.题解3由题设sin0，故sin20，从而原不等式等价于cot0, 所以在第一、三象限，故选B.题解4原不等式等价于sin20，故2是第一、二象限角，所以在第一、三象限，故选B.特殊角的三角函数值: 特殊角的三角函数值见下表:公式同角三角函数的基本关系: 平方关系： ， ， 商数关系： ， 倒数关系： ， ， 活用实例例11 已知.题解 例12 已知 求题解 sin2a + cos2a = 1 化简，整理得：当m = 0时，当m = 8时，.例13 已知，求题解 .例14 已知.题解 由题设 ; ; ; .诱导公式:(1)之间的关系:sin(360k+a) = sina, cos(360k+a) = cosa. tan(360k+a) = tana, cot(360k+a) = cota. sec(360k+a) = seca, csc(360k+a) = csca.(2) 之间的关系:sin(360-a) = -sina, cos(360-a) = cosa. tan(360-a) = -tana, cot(360-a) = -cota. sec(360-a) = seca, csc(360-a) = -csca.(3) 之间的关系:sin(180+a) = -sina, cos(180+a) = -cosa. tan(180+a) = tana, cot(180+a) = cota. sec(180+a) = -seca, csc(180+a) = -csca.(4) 之间的关系:sin(180-a) = sina, cos(180-a) = -cosa. tan(180-a) = -tana, cot(180-a) = -cota. sec(180-a) = -seca, csc(180-a) = csca.(5) 之间的关系:sin(-a) = -sina, cos(-a) = cosa. tan(-a) = -tana, cot(-a) = -cota. sec(-a) = seca, csc(-a) = -csca.(6) 之间的关系:sin(90 -a) = cosa, cos(90 -a) = sina. tan(90 -a) = cota, cot(90 -a) = tana. sec(90 -a) = csca, csc(90 -a) = seca.(7) 之间的关系:sin(90 +a) = cosa, cos(90 +a) = -sina. tan(90 +a) = -cota, cot(90 +a) = -tana. sec(90 +a) = -csca, csc(90+a) = seca.(8) 之间的关系:sin(270 -a) = -cosa, cos(270 -a) = -sina. tan(270 -a) = cota, cot(270 -a) = tana. sec(270 -a) = -csca, csc(270-a) = seca.(9) 之间的关系:sin(270 +a) = -cosa, cos(270 +a) = sina. tan(270 +a) = -cota, cot(270 +a) = -tana. sec(270 +a) = csca, csc(270+a) = -seca.以上各公式可归纳为:(1)的三角函数值,等于a的同名三角函数值, 前面的符号是把a看成锐角时,原函数值的符号; (2)或的三角函数值,等于a的异名函数值(正弦与余弦、正切与余切、正割与余割互换)，前面的符号是把a看成锐角时,原函数值的符号。活用实例例15 (1)已知; (2) 已知sin()=a，求的值.题解 (1) . (2)原式=-a .例16 计算:题解 若k是偶数，即k = 2 n (nZ) 则若k是奇数，即k = 2 n + 1 (nZ) 则原式成立.例17 .题解 , 左边 = 右边 , 等式成立.例18 .题解 .概念单位圆: 在直角坐标系中, 以原点O为圆心, 半径为1的圆叫做单位圆.三角函数线: 如图, 设任意角a的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，角a的终边也与单位圆交于P，坐标轴正半轴分别与单位圆交于A、B两点，过P(x,y)作PMx轴于M，过点A(1,0)作单位圆切线，与a角的终边或其反向延长线交于T，过点B(0,1)作单位圆的切线，与a角的终边或其反向延长线交于S，则 有向线段MP,OM,AT,BS分别称作 a角的正弦线,余弦线,正切线,余切线 . 活用实例例19利用三角函数线比较下列各组数的大小：1 与; 2 tan与tan; 3 cot与cot.ABoT2T1 S2 S1P2P1 M2 M1 S1题解 如图可知： ， tan tan ，cot cot。例20 利用单位圆寻找适合下列条件的角：(1) sina ; (2)xyoP1P2题解 图1 图2由图1可知,;由图2可知,.利用诱导公式求任意角的三角函数值: 利用诱导公式求任意角的三角函数值的一般步骤是:已知三角函数值求角: 已知三角函数值求角, 它的步骤恰与上述步骤相反, 即先求出当函数值为正值的锐角,再利用诱导公式将它扩充到任意角.已知三角函数值求角的步骤:先决定角的象限;如果函数值是正值，则先求出对应的锐角x, 如果函数值是负值，则先求出与其绝对值对应的锐角x ;由诱导公式，求出符合条件的其它象限的角: 若是第一象限角, 则为; 若是第二象限角, 则为;若是第三象限角, 则为; 若是第四象限角, 则为.活用实例例21已知，求角x的集合.题解 由 得 由 得 故角x的集合为.例22 求适合下列关系的x的集合: (1) ; (2) .题解 (1) 所求集合为.(2)所求集合为.反正弦函数: 正弦函数的反函数叫做反正弦函数, 记作它的定义域是-1,1, 值域是. 由反正弦函数的定义可以得到其中.反正弦函数的图象: 反正弦函数的图象就是与正弦函数上的一段关于直线对称的图形.反正弦函数的性质:反正弦函数在区间-1,1上是增函数;反正弦函数的图象关于原点对称, 是奇函数, 即反余弦函数: 余弦函数的反函数叫做反余弦函数, 记作它的定义域是-1,1, 值域是. 由反余弦函数的定义可以得到其中.反余弦函数的图象: 反余弦函数的图象就是与余弦函数上的一段关于直线对称的图形.反余弦函数的性质:反余弦函数在区间-1,1上是减函数, 它是非奇非偶函数;对任意反正切函数与反余切函数: 正切函数的反函数叫做反正切函数, 记作它的定义域是R, 值域是.余切函数的反函数叫做反余切函数, 记作它的定义域是R, 值域是.由反正切函数与反余切函数的定义可知, 其中;其中.反正切函数与反余切函数的图象: 反正切函数与反余切函数的性质:反正切函数在R上是增函数，反余切函数在R上是减函数.反正切函数是奇函数, 即反余切函数有如下关系: 反三角函数: 反正弦函数、反余弦函数、反正切函数、反余切函数都叫做反三角函数。活用实例例23已知,求.题解x是第三或第四象限角。（即 或 ）这里用到是奇函数。例24 (1)已知，求x（精确到）;(2)已知且，求x的取值集合;(3)已知，求x的取值集合。题解 (1)在区间上, 是增函数，符合条件的角是唯一的.(2). 所求的x的集合是（即）.(3)由上题可知：，, 合并为.例25 求的值。题解 令arctan2 = a, arctan3 = b , 则tana =