高三数学第一轮复习：数列、等差数列（理）人教版

高三数学第一轮复习：数列、等差数列高三数学第一轮复习：数列、等差数列（理）人教版（理）人教版 【本讲教育信息本讲教育信息】 一. 教学内容： 数列、等差数列 二. 本周教学重、难点： 1. 理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法， 并能根据递推公式写出数列的前几项。 2. 理解等差数列的有关概念；掌握等差数列的通项公式和前项和公式，并能运用这些n 知识解决一些简单的实际问题。 【典型例题典型例题】 例 1 根据下面各个数列的首项和递推关系，求其通项公式： n a （1）（）naaa nn 2, 1 11 * Nn （2）)( 1 , 1 * 11 Nna n n aa nn （3）)( 1 2 1 , 1 * 11 Nnaaa nn 解：解： （1） naa nn 2 1 naa nn 2 1 )()()( 123121 nnn aaaaaaaa ) 1(222121n 1) 1(1 2 nnnn （2）方法一：方法一： 1 1 n n a a n n 1 2 1 a a aan 2 3 a a nn n a a n n 11 3 2 2 1 1 1 方法二：方法二：由题意知对一切自然数成立 nn naan 1 ) 1(n 11) 1( 11 aanna nn n an 1 （3） 1 2 1 1 nn aa)2( 2 1 2 1 nn aa 是首项为，公比为的等比数列2 n a12 1 a 2 1 1 ) 2 1 (12 n n a 1 ) 2 1 (2 n n a 例 2 已知函数)2( 4 1 )( 2 x x xf （1）求的反函数；)(xf)( 1 xf （2）设（） ，求；)( 1 , 1 1 1 1n n af a a * Nn n a （3）设，是否存在最小正整数，使得对任 22 2 2 1nn aaaS nnn SSb 1 m 意，有成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。 * Nn 25 m bnm 解：解： （1）设 4 1 2 x y2x 2 1 4 y x 即)0( 1 4)( 2 1 x x xfy （2） 2 1 1 4 1 nn aa 4 11 22 1 n n aa 是公差为 4 的等差数列 1 2 n a 1 1 a 34) 1(4 11 2 1 2 nn aan 0 n a 34 1 n an （3），由，得 14 1 2 11 n aSSb nnnn 25 m bn 14 25 n m 设 14 25 )( n ng 在上是减函数 14 25 )( n ng * Nn 的最大值是)(ng5) 1 (g ，存在最小正整数，使对任意有成立。5m6m * Nn 25 m bn 例 3 已知函数，数列满足 xx xf 22)( n anaf n 2)(log2 （1）求数列的通项公式； n a （2）求证：数列是递减数列。 n a 解：解：（1） ， xx xf 22)(naf n 2)(log2 ，（看成关于的方程）n nn aa 222 22 loglog n a a n n 2 1 n a ，012 2 nn naa1 2 nnan 0 n annan1 2 （2）证明： 1 ) 1(1) 1( 1 1 ) 1(1) 1( 2 2 2 2 1 nn nn nn nn a a n n 又 ，数列是递减数列0 n a nn aa 1 n a 例 4 已知数列是等差数列，其前项和为，。 n an n S7 3 a24 4 S （1）求数列的通项公式； n a （2）设是正整数，且，证明qp、qp )( 2 1 22qpqp SSS 解：解： （1）设等差数列的公差是，依题意，得 n ad 24 2 34 4 72 1 1 da da 解得 数列的通项公式为 2 3 1 d a n a 12) 1( 1 ndnaan （2）证明： 12 nan nn aan S n n 2 2 )( 21 )(2)(2)(2 2 22 qpqpSSS qpqp )44()44( 22 qqpp 2 )(2qp qp 0)(2 22 qpqp SSS )( 2 1 22qpqp SSS 例 5 已知数列中，（） ，数列满足 n a 1 1 1 2, 5 3 n n a aa * , 2Nnn n b 。)( 1 1 * Nn a b n n （1）求证：数列是等差数列； n b （2）求数列中的最大项与最小项，并说明理由。 n a （1）证明：证明： ， 而 1 1) 1 2( 1 1 1 1 1 1 n n n n n a a a a b 1 1 1 1 n n a b （且） ，1 1 1 1 11 1 1 nn n nn aa a bb * Nn2n 2 5 1 1 1 1 a b 是首项为，公差的等差数列 n b 2 5 1d （2）解：解：由（1）得，则 2 7 nbn 72 2 1 1 1 nb a n n 设函数，则 72 2 1)( x xf0 )72( 4 )( 2 x xf 在区间和内为减函数) 2 7 ,(), 2 7 ()(xf 当时，当时，3x1)3()( fxf4x3)4()( fxf 且1)(lim xf x 的最小值为，最大值为 n a1 3 a3 4 a 例 6 已知等比数列的各项均为正数，公比，数列满足， n a1q n b23 10 b ，且（）22 25 b)( 21 nn bb0lg)(lg)(lg 51321 abbabba nnnn * Nn （1）求数列的通项公式； n b （2）设，求数列前项的和。 nn bc n cn n S 解：解：（1）由已知式得 0)lg(lg)lg(lg)lg(lg 35151213 nnn baabaabaa 是公比为的等比数列，等式可化为 n aq 0lglglg 2 1 4 2 2 nnn bqbqbq 1q0lgq ，即02 12 nnn bbb nnnn bbbb 112 为常数 121 bbbb nn 即是等差数列，设公差为，则 n bd 解得 dbb dbb 2422 923 125 110 3 50 1 d b nbn353 （2）设前项和为， n bn n T 当且仅当时171 n0 n b 18,2 171 , 17 nTT nT S n n n 18,884 2 103 2 3 171 , 2 103 2 3 2 2 nnn nnn 例 7 对于数列，有，且， n a n nn xaxaxaxf 2 21 )(4 1 a ，求： 2 3 ) 1 ( 2 bnn fn （1）的值；b （2）数列的通项公式； n a （3）使的最小的正整数的值，并说明理由。20052 n n an 解：解：（1），又=4 4 1 a 2 3 1 b a 5b （2）当时，2n 13 2 ) 1(5) 1(3 2 53 22 n nnnn an 当时， 1n4 1 a13 nan （3），即，20052 n n a2005132 n n 200632 n n 令，时，nb n n 32 2n32 1 1 n nn bb 当且为正整数时，为递增数列3nn 1 nn bb n b 当且为正整数时，为递减数列3nn 1 nn bb n b 当时，10n2006994103210 当时，11n20062015113211 使的最小的正整数的值为 1120052 n n an 例 8 数列中，当时，其前项和满足 n a1 1 a2nn n S) 2 1 ( 2 nnn SaS （1）求的表达式； n S （2）设，求数列的前项和。 12 n S b n n bn n T 解：解：（1）当时，即2n) 2 1 )( 1 2 nnnn SSSS nnnn SSSS 11 2 数列是公差为 2 的等差数列，其首项2 11 1 nn SS 1 n S ，从而1 11 11 aS 12 1 n Sn12 1 n Sn （2）) 12 1 12 1 ( 2 1 12 nnn S b n n nn bbbT 21 ) 12 1 12 1 5 1 3 1 3 1 1 ( 2 1 nn 12 ) 12 1 1 ( 2 1 n n n 【模拟试题模拟试题】 一. 选择题： 1. 在数列中，则等于（ ） n a) 1( 1, 1 2 11 naaa nn54321 aaaaa A. B. 1 C. 0 D. 21 2. 设是等差数列的前项和，若，则等于（ ） n S n an 9 5 3 5 a a 5 9 S S A. 1 B. C. 2 D. 1 2 1 3. 已知数列为等差数列，且，则)(1(log * 2 Nnan3 1 a5 2 a 12 1 (lim aa n 等于（ ）) 1 123nn aaaa A. 2 B. C. 1 D. 2 3 2 1 4. 已知数列的前项和且，则等于 n an)( 2 RbabnanSn、100 25 S 1412 aa （ ） A. 16 B. 4 C. 8 D. 不确定 5. 已知数列满足，（） ，则等于（ ） n a0 1 a 13 3 1 n n n a a a * Nn 20 a A. 0 B. C. D. 33 2 3 6. 若是等差数列，首项，则使前项 n a0 1 a0 20062005 aa0 20062005 aan 和成立的最大自然数是（ ）0 n Sn A. 4009 B. 4010 C. 4011 D. 4012 7. 设数列、都是等差数列，且，那么由 n a n b25 1 a75 1 b100 22 ba 所组成的数列的第 37 项的值为（ ） nn ba A. 0 B. 37 C. 100 D. 37 8. 等差数列中，则此数列前 20 项和 n a24 321 aaa78 201918 aaa 等于（ ） A. 160 B. 180 C. 200 D. 220 二. 解析题： 1. 已知数列，其中， n a1 1 a ，数列的前项和 1 3 n n a), 2( * 1 Nnnan n bn n S)( 9 (log * 3 Nn a n n （1）求数列的通项公式； n a （2）求数列的通项公式。 n b 2. 设等差数列的前项和为，已知，。 n an n S12 3 a0 12 S0 13 S （1）求公差的取值范围；d （2）指出中哪一个值最大，并说明理由。 1221 ,SSS 3. 设是等差数列，已知，且，求等差数 n a n a n b) 2 1 ( 8 21 321 bbb 8 1 321 bbb 列的通项。 n a 【试题答案试题答案】 一. 1. A 解析：解析：由已知，) 1)(1(1 2 1 nnnn aaaa 1, 0, 1, 0 5432 aaaa 2. A 解析：解析：（1） ， 591 2aaa 351 2aaa ，故答案选 A。1 95 59 5 9 2 )(5 2 )(9 3 5 51 91 5 9 a a aa aa S S 3. C 解析：解析：公差，112) 13(log) 15(log 22 d 则nnan1) 1() 13(log) 1(log 22 ，12 n n a n nn aa2 1 则 nn aaaaaa 12312 111 nn 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 ，故 C 正确。1) 2 1 1 (lim n n 4. C 解析：解析：因为是关于的二次函数形式，所以为等差数列bnanSn 2 n n a 又因为，所以100 2 )(25 251 25 aa S 1412251 8aaaa 5. B 解析：解析：由递推公式计算得：，所以数列的周期为 3。因为0, 3, 3 432 aaa ，所以236203 20 a 6. B 解析：解析：，0 2005 a0 2006 a 04009 2 )(4009 2005 40091 4009 a aa S 0 2 )(4010 20062005 4010 aa S 04011 2 )(4011 2006 40111 4011 a aa S 故最大自然数是 4010。n 7. C 解析：解析： 、为等差数列， 也为等差数列，设，则 n a n b nn ba nnn bac ，而，故， 。100 111 bac100 222 bac0 12 ccd100 37 c 8. B 解析：解析：由，24 321 aaa78 201918 aaa 相加得54)()()( 183192201 aaaaaa 即54)(3 201 aa 18 201 aa180 2 1820 2 )(20 201 20 aa S 二. 1. 解析：解析：（1），) 1(loglog 133 naa nn 累加得 2 ) 1( ) 1(321loglog 133 nn naan ，则 2 ) 1( log3 nn an 2 )1( 3 nn n a 或者用累乘得 2 1 1 2 2 1 1 2 3 nn n n n n n a a a a a a a a （2） 2 )1( 3 nn n a)( 2 5 ) 9 (log * 2 3 Nn nna S n n n 而，当时，时也适合2 11 Sb2n1, 3 1 nnSSb nnn 数列