江苏省南通基地2020年高考数学密卷（8）理

0 2 While4 1 EndWhile Print S I I II SSI S （第 5 题） 江苏省南通基地江苏省南通基地 20202020 年高考数学密卷（年高考数学密卷（8 8）理）理 第第卷（必做题，共卷（必做题，共 160160 分）分） 一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 1414 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 7070 分分 1 1 已知集合，若，则实数a的值为 2 3A， 2 1 logBa，3AB 2 2 已知复数满足（ 为虚数单位） ，则复数的模为 zi1iz iiz 3 3 将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有 1，2，3，4，5，6 个点的正方体玩具) 先后抛掷 2 次，则向上的点数之差的绝对值是 2 的概率为 4 4 工人甲在某周五天的时间内，每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图(左边一列的 数字表示零件个数的十位数，右边的数字表示零件个数的个位数)，则该组数据的 方差的值为 2 s 5 5 根据上图所示的伪代码，可知输出的结果S 为 6 6设实数满足则的最大值为 yx, 0 1 21 xy xy xy ， ， ， 32xy 7 7 若“ ,使得成立”是假命题，则 1 2 2 x ， ， 2 210 xx 实数的取值范围是 8 8 设等差数列的公差为（） ，其前n项和为若， n ad0d n S 22 410 aa 122 210SS 则的值为 d 9 9 若抛物线的焦点到双曲线C：的渐近线距离等于，则 2 4xy 2 2 22 1 y x ab (00)ab， 1 3 双曲线C的离心率为 1010将一个半径为 2 的圆分成圆心角之比为 1: :2 的两个扇形，且将这两个扇形分别围成圆锥 的侧面，则所得体积较小的圆锥与较大圆锥的体积之比为 1111若函数是偶函数，则实数a的值为 ( )sin3sin 63 f xaxx 1212若曲线上存在某点处的切线斜率不大于，则正实数a 2 1 ( )ln(2) +1 2 f xxaxax5 的最小值为 1313在平面凸四边形ABCD中，点E满足，且2 2AB 3CD 2DEEC 若，则的值为 | | 2AEBE 16 5 AE DE AD BC 1414设函数（） 若存在，使，( )()21f xxa xax xa0a 0 1 1x ， 0 ()0f x 1 87 2 212 （第 4 题） 则的取值范围是 a 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 6 小题，共计小题，共计 9090 分分 1515 （本小题满分 14 分） 已知向量m m(cos，sin)，n n(1，2) （1）若m mn n，求的值； sin2cos sin+ cos （2）若|m mn n|，求 cos的值 2 2， 4 + 1616 （本小题满分 14 分） 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面平面，PABCDABCDABP BCP ，M为的中点求证：90APBBPBCCP （1）/平面； APBDM （2）BMACP 平面 1717 （本小题满分 14 分） 如图，是一个半径为 2 千米，圆心角为的扇形游览区的平面示意图 点C是半径上 3 OB 一点，点D是圆弧上一点，且现在线段、线段及圆弧三段所示 A AB/CD OAOCCD A DB AB C D P M （第 16 题） 位置设立广告位，经测算广告位出租收入是： 线段处每千米为元，线段及圆弧OC2aCD 处每千米 均为元设弧度，广告位出租的总收入为y元 A DBaAODx （1）求y关于x的函数解析式 ，并指出该函数的定义域； （2）试问 为何值时，广告位出租的总收入最大，并求出其最大 值x 1818 （本小题满分 16 分） 已知椭圆的离心率为，右焦点为圆的圆 22 1 22 :1(0) xy Cab ab 1 2 222 2:( 1)Cxyr 心，且圆截轴所得弦长为 4 2 Cy （1）求椭圆与圆的方程； 1 C 2 C （2）若直线 与曲线，都只有一个公共点，记直线 与圆的公共点为，求点l 1 C 2 Cl 2 CA 的坐标A OA B C D （第 17 题） 1919 （本小题满分 16 分） 设区间，定义在上的函数（） ，集合 3 3D ，D 3 ( )1f xaxbx0abR， |( )0AaxDf x ， （1）若，求集合； 1 6 b A （2）设常数0b 讨论的单调性；( )f x 若，求证：1b A 2020 （本小题满分 16 分） 已知数列的各项均为正数，前项和为，且，为 n a1 1 an n S nn Sna21 22 1 正常数 （1）求数列的通项公式； n a （2）记，（） n n n S b a 11 n nk n c SS * 22knknN， 求证： ； 1 nn bb 1nn cc 20202020 年高考模拟试卷（年高考模拟试卷（8 8） 数学数学(附加题附加题) ) 2121 【选做题选做题】本题包括本题包括 A A、B B、C C、D D 四小题，请选定两题，并在相应的答题区域内作答四小题，请选定两题，并在相应的答题区域内作答 A A选修 41：几何证明选讲（本小题满分 10 分） 如图，已知，是圆的两条弦，且AB是线段CD的垂直平分线，已知AB=6，ABCDO CD=，求线段AC的长度2 5 B B选修 42：矩阵与变换 （本小题满分 10 分） 已知矩阵的一个特征值为 2，其对应的一个特征向量为 1 1 a b A 2 1 若，求，的值 xa yb Axy C C选修 44：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分） D C B A （第 21A 题） 在直角坐标系中，已知曲线的参数方程是（是参数） 若以OxOyC 3cos1 3sin3 x y ， 为极点，轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系中相同的单位长度，建立极坐标系，直x 线l的极坐标方程为求直线l被曲线截得的线段长sin()2 4 C D D选修 45：不等式选讲 （本小题满分 10 分） 已知，且， ，求a的取值范围, ,a b cR3abc 222 26abc 【必做题必做题】第第 2222 题、第题、第 2323 题，每题题，每题 1010 分，共计分，共计 2020 分请在答卷纸指定区域内作答分请在答卷纸指定区域内作答 2222如图，在直三棱柱中，已知，. 111 ABCABCABAC2AB 4AC 1 3AA 是线段的中点.DBC （1）求直线与平面所成角的正弦值； 1 DB 11 AC D （2）求二面角的大小的余弦值. 111 BADC 2323 （本小题满分 10 分） A B C D A1 B1 C1 （第 22 题） 在教材中，我们已研究出如下结论：平面内条直线最多可将平面分成个n 2 11 1 22 nn 部分现探究：空间内个平面最多可将空间分成多少个部分，nN*n 设空间内个平面最多可将空间分成个部分n 32 ( )1f nanbncn （1）求的值；abc， （2）用数学归纳法证明此结论 2020 年高考模拟试卷（8）参考答案 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分 1 【答案】8 【解析】因为，所以，即3AB 2 log3a 8a 2 【答案】；5 【解析】本题考查了复数的运算和模的概念 因为，所以zi1i 1zi |i|125zi 3 【答案】 2 9 【解析】设向上的点数之差的绝对值是 2 为随机事件，将一颗质地均匀的骰子先后A 抛掷 2 次共有 36 个基本事件，事件共包含，A(13)(24)(3 1)(35)(42) ，共 8 个基本事件 ，所以(46)(53)(64) 82 ( ) 369 P A 4 【答案】 22 5 【解析】由茎叶图可以得到样本的平均值，所以20 x 22222 2 18201720222021202220 22 55 s 5 【答案】12 【解析】第一次执行循环体计算两个变量的结果为；第二次执行循环体计算两3,3IS 个 A A A 1,0A O x y 1 1 , 3 3 B 1 1 , 2 2 C 变量的结果为；第三次执行循环体计算两个变量的结果为；所以4,7IS5,12IS 输出的结果为 12 6 【答案】3 【解析】画出可性域如图所示，求出代入点，(1,0)A 求出最大值为 332xy 7 【答案】2 2 【解析】命题的否定是“ ,都有成立” ，且是真命题，所以 1 2 2 x ， ， 2 210 xx 对恒成立，所以因为，当且仅当 1 2x x 1 2 2 x ， ， min 1 2x x 1 22 2x x 时成立，所以，即 1 2 2 22 x ， min 1 22 2x x 2 2 8 【答案】10 【解析】因为（） ，所以 22 410 aa0d 410 aa 又因为即， 410 aa 7 0a 122 210SS 所以解答 1 11 60, 24132210, ad adad 10d 9 【答案】3 【解析】本题考查了抛物线焦点坐标和双曲线的离心率 因为抛物线的焦点为，双曲线的渐近线为根据 2 4xy0,1P 22 22 1 xy ab b yx a 点到直线的距离有，化简有 2 2 11 3 1 b a 3 c e a 10 【答案】；110: 【解析】本题考查了空间几何体的体积问题 因为圆分成圆心角之比为 1：2 的两个扇形，所以两个扇形圆心角分别为和 1 2 3 l 和，解得， 2 4 3 l 1 2 2 3 r 2 4 2 3 r 1 2 3 r 2 4 3 r 2 1 24 2 4 33 h 所以 2 2 42 5 4 33 h 2 11 1 2 2 22 114 4 2 1 3393 1 116 2 510 3 393 r h v v r h 11 【答案】1 【解析】，因为是偶函数， 2 ( )sin3cos3sin 666 f xaxxax( )f x 所以，即，解得 2 (0)3fa 23 3 2 a a 1a 12 【答案】9 本题考查了曲线的切线存在性的问题 【解析】因为，所以存在某点 2 1 ( )ln(2) +1 2 f xxaxax 1 ( )(2)fxaxa x 处的切线斜率不大于，所以存在，得到50,x 1 (2)5axa x ，当且仅当取“” ，化简得，解得 1 2(2)5axa x 1 ax x 230aa 9a 13 【答案】2 【解析】本题考查了平面向量的线性运算和平面向量数量积 因为，点E满足，所以，3CD 2DEEC 2DE 1EC ，得到| | 2AEBE 2 2AB 2 AEC 又因为，所以，得到 16 5 AE DE 16 cos 5 AE DEAED 4 cos 5 AED 又 3 coscos 5 BECAEBAED ， AD BCAEEDBEEC ，AEECED BEED EC ，coscosAE ECAECED BEBEDED EC ， 43 2 12 21 2 55 2 14 【答案】 322， 【解析】 若，1a 22 2 222110 ( ) 22101. xaxaax f x axaax ， ， 当时，为递增函数，且，01x 2 ( )221f xaxaa 2 (0)(1)fa 当时，的对称轴为，10 x 22 ( )2221f xxaxaa 2 a x 若存在，使得， 0 1 1x ， 0 ()0f x 则或，即或， 1 2 ( 1)0 a f 1 2 ( )0 2 a a f 2 2 430 a aa 2 21 420 a aa 解得31a 若，10a 2 22 2 2211 ( )22210 22101. axaaxa f xxaxaaax axaax ， ， ， 当时，为递增函数，且，01x 2 ( )221f xaxaa 2 (0)(1)fa 当时，为递减函数，且，1xa 2 ( )221f xaxaa 2 ( )(1)f aa 当时，的对称轴为，0ax 22 ( )2221f xxaxaa 2 a x 若存在，使得， 0 1 1x ， 0 ()0f x 则，即，( )0 2 a f 2 420aa 解得，又，所以2222a 10a 122a 综上可得，即的取值范围为322aa 322， 二、解答题：二、解答题： 15 【解】 （1）因为 m mn n，所以 sin2cos 4 分 所以原式4 6 分 （2）因为 |m mn n|，所以 2sincos2 9 分 2 所以 cos4(sin1) ，所以 1sin4(sin1) ， 2 2 2 2 所以， 2， 所以 12 分 34 sin,cos 55 所以原式 14 分 7 2 10 16 【解】 （1）设AC与BD交于点O，连结结OM， 因为是平行四边形，所以O为AC中点，2 分ABCD 因为M为的中点，所以OM，4 分CPAP 又平面，OM平面，AP BDMBDM 所以平面7 分APBDM AB C D P M （第 16 题） O （2）平面平面，交线为，ABP BCPBP 因为，故，90APBAPBP 因为平面，所以平面，9 分AP ABPAP BCP 因为平面，所以 11 分BM BCPAP BM 因为，M为的中点，所以12 分BPBCCPBMCP 因为，平面，APCPPAPCP ，ACP 所以平面，14 分BM ACP 17 【解】 （1）因为，所以，CDOAradODCAODx 在中，km，OCD 2 3 OCD 3 CODx 2OD 由正弦定理得， 4 分 24 3 2 sin3 sin()sin 33 OCCD x x （注：正弦定理要呈现，否则扣（注：正弦定理要呈现，否则扣 2 2 分）分） 得 km， km5 分 4 3 sin 3 OCx 4 3 sin() 33 CDx 又圆弧长为 kmDB2() 3 x 所以 4 34 3 2sinsin()2() 3333 yaxaxx ，7 分2( 3sincos) 3 axxx (0) 3 x ， （2）记，( )2( 3sincos) 3 f xaxxx 则，8 分( )2( 3cossin1)22cos() 1 6 fxaxxax 令，得 9 分( )0fx 6 x 当x变化时，的变化如下表：( )fx( )f x x (0) 6 ， 6 () 6 3 ， 所以在处取得极大值，这个极大值就是最大值( )f x 6 x 即12 分( )2( 3) 66 fa 答：（1）y关于x的函数解析式 为，其定义域为 2( 3sincos) 3 yaxxx ；(0) 3 ， （2）广告位出租的总收入的最大值为元14 分2( 3) 6 a 18 【解】 （1）由题意知：解得 1 1 2 c c a ， ， 1 2 c a ， ， 又， 222 3bac 所以椭圆的方程为 3 分 1 C 22 1 43 xy 因为圆截轴所得弦长为 4，所以， 2 Cy 222 215r 所以圆的方程为 6 分 2 C 22 (1)5xy （2）设直线 的方程为，则lykxm ， 2 | 5 1 km k 即 8 分 22 425kmkm 由得，10 分 22 1 43 ykxm xy ， ， 222 (34)84120kxkmxm ( )fx 0 ( )f x递增极大值递减 因为直线 与曲线只有一个公共点，所以l 1 C ， 2222 6416(3)(34)0k mmk 化简，得 12 分 22 430km 联立，解得或13 分 1 2 2 k m ， ， 1 2 2 k m . ， 由解得， 14 分 22 1 2 2 (1)5 yx xy ， ， 0 2A ( ，) 由解得，15 分 22 1 2 2 (1)5 yx xy ， ， 02A( ，) 故直线 与圆的公共点的坐标为或16 分l 2 CA0 2（，）(02)， 19 【解】 （1）当时，则 1 6 b 31 ( )1 6 f xaxx 21 ( )3 6 fxax 由可知恒成立，故函数在上单调递增， 2 分0a ( )0fx( )f x 3 3 ， 所以，解得， min 1 ( )( 3)270 2 f xfa 1 0 54 a 所以集合 4 分 1 |0 54 Aaa （2） 由得， 3 ( )1f xaxbx 2 ( )3fxaxb 因为，则由，得00ab，( )0fx 1,212 () 3 b xxx a 在上列表如下：R x 1 (,)x 1 x 12 ( ,)x x 2 x 2 (,)x ( )fx 0 0 ( )f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增 （）当，即时， 2 3x 0 27 b a 则，所以在上单调递减； 6 分 12 3 3xx，( )f x 3 3 ， （）当，即时，此时， 2 3x 27 b a 1 3x 在和上单调递增；在上单调递减( )f x 1 3x ， 2 3x ， 12 ()xx， 综上，当时，在上单调递减； 0 27 b a( )f x 3 3 ， 当时，在，上单调递增； 27 b a ( )f x3 3 b a ，3 3 b a ， 在上单调递减 8 分 33 bb aa ， （方法一）当时，由可知，1b （）当时，在上单调递减，0 27 b a( )f x 3 3 ， 所以， min ( )(3)2731312110f xfabbbb 这与恒成立矛盾，故此时实数不存在； 10 分( )0 xDf x ，a （）当时，在，上单调递增； 27 b a ( )f x3 3 b a ，3 3 b a ， 在上单调递减， 33 bb aa ， 所以 12 分 min2 ( )min ( 3)()f xff x， 若，这与恒成立矛盾，( 3)27310fab ( )0 xDf x ， 故此时实数不存在；a 若，此时，( 3)27310fab 3 222 ()1f xaxbx 又，则， 2 22 ()30fxaxb 2 2 3 b ax 3 32 22222 2 24 ()1()1111 333327 bx bbbb f xaxbxxbx aa 14 分 下面证明，也即证： 3 4 10 27 b a 3 427ba 因为，且，则， 27 b a 27310ab 2731ab 下证： 3 431bb 令，则， 3 ( )431(1)g bbbb 2 ( )1230g bb 所以在上单调递增，所以，即( )g b(, 1 ( )( 1)0g bg 2 ()0f x 这与恒成立矛盾，故此时实数不存在( )0 xDf x ，a 综上所述， 16 分A （方法二） （）当时，成立；0 x (0)1f 0 （）当时，由题意可知恒成立，则，(0,3x 3 1axbx - 23 1b a xx - 设，则， 23 1 ( ) b g x xx - 344 2323 ( ) bbx g x xxx 令，解得( )0g x 3 2 x b 因为，所以，1b 3 03 2b 所以在上单调递增，在上单调递减，( )g x 3 (0) 2b ， 3 (3 2b ， 所以，所以； 12 分 333 max 3484 ( )() 292727 bbb g xg b 3 4 27 b a- （）当时，由题意可知恒成立，则 3 0)x ， 3 1axbx - 23 1b a xx - 设，则， 23 1 ( ) b g x xx - 344 2323 ( ) bbx g x xxx 因为，所以恒成立，所以在上单调递增，1b ( )0g x( )g x 3,0) 所以， min 1 ( )( 3) 927 b g xg 所以 1 927 b a 若，则存在实数满足，A a 3 41 27927 bb a- 则成立，即， 3 41 27927 bb - 3 4310bb 也即成立， 2 (1)(21)0bb 则，这与矛盾，所以 16分1b1b A 20 【解】 （1）由，得， 22 1 12 nn anS 22 1 (1)12(2) nn anSn 两式相减得，也即 222 1 2 nnn aaa 22 1 () nn aa 又，所以 2 分00 n a， 1 (2) nn aan 当时，则，1n 22 21 122aa 21 1aa 所以（） ， 1nn aa * nN 所以数列是首项为 ，公差为的等差数列， n a1 所以 4 分1(1)1 n ann （2） 由（1）知， 2 (2) 2 n nn S 所以， 6 分 2 2 (2) (2) 12 () 12(1)21 n n n nn Snn n bn annn 则， 2 1 111(1)(22)2 (1)0 21(1)12(1)( (1)1) nn nnn nn bb nnnn 所以得证 8 分 1nn bb 1 11 1111 ()() nn nk nnk n cc SSSS 11 1111 ()() nnk nk n SSSS 1 11 nk n nnk nk n aa SSSS 1 11 11k nn k nk nnn aa SSSS ， 12 分 11 1111 k nk nnn SbSb 因为，所以，22kn 1nkn 1nkn 由，所以，所以，0 n a 1 0 nk n SS 1 11 0 k nn SS 又因为，所以， 1 0 nk n bb 1 11 0 k nn bb 所以， 1 0 nn cc 所以得证 16 分 1nn cc 数学数学（附加题）参考答案 21-A连接BC设相交于点，,AB CDEAEx 因为AB是线段CD的垂直平分线， 所以AB是圆的直径，ACB90 2 分 则， 4 分6EBx5CE 由射影定理得 6 2 CEAE EBA 分 即有(6)5xx 解得（舍）或 8 分1x 5x 所以 ， 2 5 630ACAE AB A 10 分30AC A D C B E 21-B由条件知，即，即，2A 122 2 111 a b 24 22 a b 所以 解得 所以 5 分 24, 22, a b 2, 4. a b 12 14 A 则，所以 解得 1222 1444 xxxy yyxy A 22, 44, xy xy 0, 1. x y 所以，的值分别为， 10 分xy01 21-C由得 3cos1, 3sin3, x y 13cos , 33sin, x y 两式平方后相加得 4 分 22 (1)(3)9xy 所以曲线是以为圆心，半径等于 3 的圆C(1,3) 直线l的直角坐标方程为， 6 分20 xy 圆心到l的距离是，C |132| 2 2 d 所以直线l被曲线截得的线段长为 10 分C2 922 7 21-D因为 2 分 222 62abc ，6 分 22 21 (2)(1) 32 bc 22 22 ()(3) 33 bca 即，所以 10 分 2 5120aa 12 0 5 a 22解：因为在直三棱柱中，所以分别以