2019-2020学年高中数学 第2章 平面向量 2.1 平面向量的实际背景及基本概念导学案 新人教A版必修4

21平面向量的实际背景及基本概念教材研读预习课本p7476，思考以下问题1向量是如何定义的？向量与数量有什么区别？2怎样表示向量？向量的相关概念有哪些？3两个向量(向量的模)能否比较大小？4零向量与单位向量有什么特殊性？0与0的含义有什么区别？5如何判断相等向量或共线向量？向量与向量是相等向量吗？要点梳理1向量的概念和表示方法(1)概念：既有大小，又有方向的量称为向量(2)向量的表示2.向量的长度(或称模)与特殊向量(1)向量的长度(或模)定义：向量的大小叫做向量的长度(或模)(2)向量的长度表示：向量，a的长度分别记作：|，|a|.(3)特殊向量：长度为0的向量为零向量，记作0；长度等于1个单位的向量，叫做单位向量3向量间的关系(1)相等向量：长度相等且方向相同的向量，叫做相等向量，记作：ab.(2)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫共线向量；a平行于b，记作ab；规定零向量与任一向量平行自我诊断判断(正确的打“”，错误的打“”)1两个向量能比较大小()2向量的模是一个正实数()3单位向量的模都相等()4向量与向量是相等向量()答案1.2.3.4.思考：已知下列各量：力；功；速度；质量；温度；位移；加速度；重力；路程；密度其中是数量的有_，是向量的有_提示：下列说法正确的有_(填序号)若|a|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；若|a|b|，且a与b的方向相同，则ab；由于0方向不确定，故0不能与任意向量平行；向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反；起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量思路导引利用向量的有关概念逐一判断解析不正确由|a|b|只能判断两向量长度相等，不能确定它们方向的关系正确因为|a|b|，且a与b同向，由两向量相等的条件，可得ab.不正确依据规定：0与任一向量平行不正确因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不定正确对于一个向量只要不改变其大小与方向，是可以任意移动的答案解决与向量概念有关问题的方法解决与向量概念有关题目的关键是突出向量的核心方向和长度，如：共线向量的核心是方向相同或相反，长度没有限制；相等向量的核心是方向相同且长度相等；单位向量的核心是方向没有限制，但长度都是一个单位长度；零向量的核心是方向没有限制，长度是0；规定零向量与任一向量共线只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题跟踪训练下列说法错误的有_(填上你认为所有符合的序号)两个单位向量不可能平行；两个非零向量平行，则它们所在直线平行；当两个向量a，b共线且方向相同时，若|a|b|，则ab.解析错误，单位向量也可以平行；错误，两个非零向量平行，则它们所在直线还可能重合；错误，两个向量是不能比较大小的，只有模可以比较大小答案思考：向量就是有向线段，这种说法对吗？提示：不对，向量与有向线段是两个不同的概念，可以用有向线段表示向量在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：(1)，使|4，点a在点o北偏东45；(2)，使|4，点b在点a正东；(3)，使|6，点c在点b北偏东30.解(1)由于点a在点o北偏东45处，所以在坐标纸上点a距点o的横向小方格数与纵向小方格数相等又|4，小方格边长为1，所以点a距点o的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点a位置可以确定，画出向量如图所示(2)由于点b在点a正东方向处，且|4，所以在坐标纸上点b距点a的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点b位置可以确定，画出向量如图所示(3)由于点c在点b北偏东30处，且|6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点c距点b的横向小方格数为3，纵向小方格数为35.2，于是点c位置可以确定，画出向量如图所示用有向线段表示向量的方法用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点必要时，需依据直角三角形知识求出向量的方向(即夹角)或长度(即模)，选择合适的比例关系作出向量跟踪训练一辆汽车从a点出发向西行驶了100 km到达b点，然后又改变方向向西偏北50走了200 km到达c点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达d点(1)作出向量、；(2)求|.解(1)向量、如图所示(2)由题意，易知与方向相反，故与共线，又|，在四边形abcd中，ab綊cd.四边形abcd为平行四边形，|200 km.题型三相等向量与共线向量思考：两个向量相等的条件是什么？提示：方向相同，模相等如图所示，四边形abcd与abde是平行四边形(1)找出与向量共线的向量；(2)找出与向量相等的向量思路导引利用共线向量与相等向量的定义求解解(1)依据图形可知，与方向相同，与方向相反，所以与向量共线的向量为，.(2)由四边形abcd与abde是平行四边形，知，与长度相等且方向相同，所以与向量相等的向量为和.寻找共线向量或相等向量的方法(1)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量(2)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是与已知向量方向相同的向量跟踪训练如图，abc和abc是在各边的处相交的两个全等的等边三角形，设abc的边长为a，图中列出了长度均为的若干个向量，则(1)与向量相等的向量有_；(2)与向量共线，且模相等的向量有_；(3)与向量共线，且模相等的向量有_解析向量相等向量方向相同且模相等向量共线表示有向线段所在的直线平行或重合答案(1)，(2)，(3)，课堂归纳小结1本节课的重点是向量的概念、向量的表示方法及几种特殊的向量，难点是几种特殊向量的概念及应用2要重点掌握向量的三个问题(1)向量的有关概念，见典例1；(2)向量的表示，见典例2；(3)相等向量与共线向量，见典例3.3本节课要注意两个区别(1)向量与数量数量只有大小没有方向，向量既有大小又有方向数量可以比较大小，向量不能比较大小(2)向量与有向线段区别：从定义上看，向量有大小和方向两个要素，而有向线段有起点、方向和长度三个要素，因此它们是两个不同的量在空间中，有向线段是固定的，而向量是可以自由移动的联系：向量可以用有向线段表示，但并不能说向量就是有向线段.1在同一平面内，把所有长度为1的向量的始点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹是()a单位圆b一段弧c线段d直线解析因为这些向量都是单位向量，因此终点轨迹为单位圆答案a2下列说法正确的是()a数量可以比较大小，向量也可以比较大小b方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小c向量的大小与方向有关d向量的模可以比较大小解析向量不可以比较大小，但向量的模可以比较大小答案d3.如图，在四边形abcd中，若，则图中相等的向量是()a.与b.与c.与d.与解析由题意知abcd