河南省新乡市2020届高三数学下学期第二次模拟考试试题（含解析）

新乡市高三第二次模拟测试数学（理科）第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，集合，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据或，验证交集后求得的值.【详解】因为，所以或.当时，不符合题意，当时，.故选A.【点睛】本小题主要考查集合的交集概念及运算，属于基础题.2.若复数，则下列结论错误的是（ ）A. 是实数B. 是纯虚数C. 是实数D. 是纯虚数【答案】B【解析】【分析】分别计算出，的值，由此判断出结论错误的选项.【详解】是实数；不是纯虚数；是实数；是纯虚数，故选B.【点睛】本小题主要考查复数的运算，考查纯虚数的概念，属于基础题.3.已知，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用两个向量平行的坐标表示列方程求得，进而求得的值.【详解】由，得，则，所以.故选B.【点睛】本小题主要考查两个向量平行的坐标表示，考查平面向量数量积的坐标表示，属于基础题.4.已知等比数列的首项为，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用已知条件求得，利用等比数列的性质求得的值.【详解】设等比数列的公比为，则，所以.故选C.【点睛】本小题主要考查等比数列基本量的计算，考查等比数列的性质，属于基础题.5.已知双曲线一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求得渐近线的方程，利用两条直线垂直斜率相乘等于列方程，结合求得双曲线离心率.【详解】由题可知双曲线的渐近线方程为，则，即，又，所以.故选A.【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线以及离心率的求法，考查两条有斜率的直线相互垂直时，斜率相乘等于，属于基础题.6.已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是，若这组数据的平均数、中位数、众数依次成等差数列，则丢失数据的所有可能值的和为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设丢失的数据为，将分成，三种情况，计算出平均数、中位数、总数，根据三者成等差数列列方程，求得的所有可能取值，相加后求得结果.【详解】设丢失的数据为，则七个数据的平均数为，众数是.由题意知，这组数据的平均数、中位数、众数依次成等差数列，若，则中位数为，此时平均数，解得；若则中位数为，此时，解得；若，则中位数为，此时，解得.综上，丢失数据的所有可能的取值为，三数之和为.故选C.【点睛】本小题主要考查平均数、众数和中位数的计算，考查分析和求解能力，属于中档题.7.如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据三视图判断出几何体是由一个三棱锥和一个三棱柱构成，利用锥体和柱体的体积公式计算出体积并相加求得几何体的体积.【详解】由三视图可知该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，该多面体体积为 .故选D.【点睛】本小题主要考查三视图还原为原图，考查柱体和锥体的体积公式，属于基础题.8.某程序框图如图所示，则该程序的功能是（ ）A. 为了计算B. 为了计算C. 为了计算D. 为了计算【答案】A【解析】【分析】根据程序框图中的循环结构，求得的变化规律，判断出何时退出循环结构，由此判断出正确选项.【详解】运行程序，判断是；，判断是，以此类推，表达式的最后一项的指数比下一个要少，故，退出程序，输出的值.所以程序框图是为了计算，故选A.【点睛】本小题主要考查程序框图阅读理解，考查分析和推理能力，属于基础题.9.已知函数是偶函数，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据函数为偶函数列方程，由此求得的值.利用函数的单调性求出不等式的解集.【详解】若是偶函数，则有恒成立，即 ，于是 ，即是对恒成立，故.令，又在上单调递增，所以不等式的解集为.故选C.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查利用函数的单调性解不等式，属于中档题.10.已知数列的首项，且满足，则的最小的一项是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用配凑法将题目所给递推公式转化为，即证得为首项为，公差为的等差数列，由此求得的表达式，进而求得的表达式，并根据二次函数的对称轴求得当时有最小值.【详解】由已知得，所以数列为首项为，公差为的等差数列，则，其对称轴.所以的最小的一项是第项.故选A.【点睛】本小题考查由数列的递推公式求数列的通项公式，考查二次函数求最值的方法，属于中档题.11.如图，已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴上，且过点，圆，过圆心的直线与抛物线和圆分别交于，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据抛物线过点求得抛物线方程，求得焦点和圆心坐标以及圆的半径.根据焦半径公式得到，转化为，利用基本不等式求得上式的最小值.【详解】由题意抛物线过定点，得抛物线方程，焦点为，圆的标准方程为，所以圆心为，半径.由于直线过焦点，所以有，又 .故选C.【点睛】本小题主要考查抛物线方程的求法，考查抛物线的定义，考查化归与转化的数学思想方法，考查基本不等式求和式的最小值，属于中档题.12.已知函数，若曲线上始终存在两点，使得，且的中点在轴上，则正实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据中点在轴上，设出两点的坐标，（）.对分成三类，利用则，列方程，化简后求得，利用导数求得的值域，由此求得的取值范围.【详解】根据条件可知，两点的横坐标互为相反数，不妨设，（），若，则，由，所以，即，方程无解；若，显然不满足；若，则，由，即，即，因为，所以函数在上递减，在上递增，故在处取得极小值也即是最小值，所以函数在上的值域为，故.故选D.【点睛】本小题主要考查平面平面向量数量积为零的坐标表示，考查化归与转化的数学思想方法，考查利用导数研究函数的最小值，考查分析与运算能力，属于较难的题目.第卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.将函数的图象向左平移个单位长度，得到偶函数的图象，则的最小值是_.【答案】【解析】【分析】先求得向左平移个单位后的解析式，根据所得解析式为偶函数以及诱导公式，列方程，解方程求得的值，并求得的最小正值.【详解】因为 为偶函数，所以，所以.的最小值是.【点睛】本小题主要考查三角函数图像变换，考查三角函数的奇偶性以及诱导公式，属于中档题.14.已知 ，则 _.【答案】【解析】【分析】对原方程两边求导，然后令求得表达式的值.【详解】对等式 两边求导，得 ，令，则.【点睛】本小题主要考查二项式展开式，考查利用导数转化已知条件，考查赋值法，属于中档题.15.设，满足约束条件，则的最大值为_.【答案】【解析】【分析】画出可行域，将目标函数平移到点的位置时，取得最大值.【详解】作出不等式组表示的可行域，如图，当直线过点时，取得最大值，.【点睛】本小题主要考查利用线性规划求线性目标函数的最大值.这种类型题目的主要思路是：首先根据题目所给的约束条件，画出可行域；其次是求得线性目标函数的基准函数；接着画出基准函数对应的基准直线；然后通过平移基准直线到可行域边界的位置；最后求出所求的最值.属于基础题.16.如图，在长方体中，点在棱上，当取得最小值时，则棱的长为_.【答案】【解析】【分析】把长方形展开到长方形所在平面，利用三点共线时取得最小值，利用勾股定理列方程组，解方程组求得的值.【详解】把长方形展开到长方形所在平面，如图，当，在同一条直线上时，取得最小值，此时，令，则，得.【点睛】本小题主要考查空间中的最短距离问题，考查化归与转化的数学思想方法，考查空间想象能力，属于中档题.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.在中，内角，所对的边分别为，若.（1）求；（2）若，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用余弦定理、两角和的正弦公式、三角形的内角和定理化简已知条件，求得的值，进而求得的大小.（2）利用余弦定理和基本不等式，求得的最大值，由三角形面积公式，求得面积的最大值.【详解】解：（1）由余弦定理可得，则，即，所以，因为 ，则，所以.（2）由余弦定理可知，即，所以，则.所以面积的最大值为.【点睛】本小题主要考查利用余弦定理解三角形，考查利用基本不等式求三角形面积的最大值，考查两角和的正弦公式的应用，考查三角形内角和定理的应用，属于中档题.18.2020年元旦班级联欢晚会上，某班在联欢会上设计了一个摸球表演节目的游戏，在一个纸盒中装有1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球，这些球除颜色外完全相同，A同学不放回地每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸球，否则就要将纸盒中的球全部摸出才停止规定摸到红球表演两个节目,摸到白球或黄球表演一个节目，摸到黑球不用表演节目（1）求A同学摸球三次后停止摸球的概率；（2）记X为A同学摸球后表演节目的个数，求随机变量X的分布列【答案】（1）；（2）2.【解析】【分析】（1）设“1名同学摸球3次后停止摸球”为事件A，由排列组合知识结合古典概型概率公式可得；（2）的可能取值为，结合排列组合知识，利用古典概型概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得的数学期望.【详解】（1）设“1名同学摸球3次后停止摸球”为事件A，则，故1名同学摸球3次停止摸球的概率为 （2）随机变量X的可能取值为0,1,2，3,4；所以随机变量X的分布列：X01234P【点睛】本题主要考查排列组合的应用、古典概型概率公式以及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题. 求解数学期望问题，首先要正确理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.19.已知三棱锥，是边长为的等边三角形.（1）证明：.（2）若平面平面，求二面角的余弦值.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）设为中点，连结，.根据等腰得到以及，由此证得平面，从而证得.（2）以为原点建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量，计算二面角的余弦值.【详解】（1）证明：设为中点，连结，.因为，所以.又因为是等边三角形，所以.又，故平面.所以.（2）解：因为平面平面，且相交于，又，所以平面.以为坐标原点，所在的直线分别为，轴建立空间直角坐标系，则，易知平面的一个法向量.设为平面的法向量，则，即，令，则，得.则.所以二面角的余弦值为.【点睛】本小题主要考查线线垂直的证明，考查线面垂直的证明，考查利用空间向量法求解二面角的余弦值，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.20.设椭圆的右顶点为，上顶点为.已知椭圆的焦距为，直线的斜率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线（）与椭圆交于，两点，且点在第二象限.与延长线交于点，若的面积是面积的倍，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用椭圆的焦距和的斜率列方程组，解方程组求得的值，由此求得椭圆标准方程.（2）设出两点的坐标，利用“的面积是面积的倍”得到，转化为向量，并用坐标表示出来，求得两点横坐标的关系式.联立直线的方程和直线的方程，求得点的横坐标；联立椭圆的方程和直线的方程，求得点的横坐标，根据上述求得的两点横坐标的关系式列方程，解方程求得的可能取值，验证点横坐标为负数后得到的值.【详解】解：（1）设椭圆的焦距为，由已知得，所以，所以椭圆的方程为.（2）设点，由题意，且，由的面积是面积的倍，可得，所以，从而，所以，即.易知直线的方程为，由，消去，可得.由方程组，消去，可得.由，可得，整理得，解得或.当时，符合题意；当时，不符合题意，舍去.综上，的值为.【点睛】本小题主要考查利用解方程组的方法求椭圆的标准方程，考查直线和直线交点坐标的求法，考查直线和椭圆交点坐标的求法，考查三角形面积的利用，考查化归与转化的数学思想方法.属于中档题.21.已知函数.（1）求的单调区间；（2）当时，恒成立，求的取值范围.【答案】（1）函数在上单调递减，在上单调递增；（2）.【解析】【分析】（1）先求函数的导数，利用导函数的正负情况，得到原函数的单调区间.（2）构造函数 ，求得导数，对分成三类，结合的单调区间，根据列不等式，解不等式求得的取值范围.【详解】解：（1） ，令，解得，当，则函数在上单调递减；当，则函数在上单调递增.（2）令 ，根据题意，当时，恒成立. .当，时，恒成立，所以在上是增函数，且，所以不符合题意；当，时，恒成立，所以在上是增函数，且，所以不符合题意；当时，因为，所以恒有，故在上是减函数，于是“对任意都成立”的充要条件是，即，解得，故.综上，的取值范围是.【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数求解不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.要利用导数求解不等式恒成立问题，首先构造一个函数，然后利用导数研究这个函数的最值，根据最值的情况列不等式，解不等式求得参数的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.