2020学年高中数学 2.3 数学归纳法同步练习 新人教A版选修2-2

选择2-2.3数学归纳法一、选择题1.数学归纳法1.1)证明时，第一步必须验证不等式()A.1 2B.1 2C.1 3D.1 3回答 B选择b，取分析875nn * n 1，n第一个自然数为2，取左分母最大的项为=。2.使用数学推导，1 a a2.证明an 1=(nn * a1)和验证n=1时，左侧结果项为()A.1B.1 a a2C.1 aD.1 a a2 a3回答 B如果解决方案 n=1，则an 1=a2，因此此公式向左=1 a a2。b.3.如果设置f(n)=(nn *)，则f (n 1)-f (n)等于()A.bC.+ D. -回答 D解决方案 f (n 1)-f (n)2=-=-=-。4.有些命题与自然数n相关，如果n=k(kn *)成立那个命题，那么用n=k 1推也成立。现在n=5时，如果已知这个命题不成立，可以直接推()A.当n=6时，这个命题不成立B.这个提案在n=6时成立C.这个命题在n=4时不成立D.这个命题在n=4时成立回答 C【分析】如果原来的命题正确，那么不是相反的命题是正确的。因此，必须选择c。5.用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn yn可以被x y整除”，在第二阶段的证明中，正确的证明是()A.假设n=k(kn *)证明n=k 1，则命题也成立B.假设n=k (k是正奇数)，证明n=k 1，则命题也成立C.假设n=k (k是正奇数)，证明n=k 2时，命题也成立D.假设n=2k 1(kn)证明n=k 1，则命题也成立回答 C解析 875n是正奇数，如果n=k，则k下的第一个正奇数必须是k 2，而不是k 1。因此，c .6.凸n变形具有f(n)条对角线时，凸n 1变形对角线上的条带数f (n 1)为()A.f (n) n 1B.f (n) nC.f (n) n-1D.f (n) n-2回答 C解析增加一个顶点将增加n 1-3对角线，原始边也将成为对角线，因此f (n 1)=f (n) 1 n 1-3=f (n) n-1。c.7.必须用数学归纳法证明“对所有NNN *都有2n N2-2”的命题，并在证明过程中进行验证()A.n=1时命题成立B.当n=1，n=2时，命题成立C.n=3点命题成立D.当n=1，n=2，n=3时，命题成立回答 D如果分析 n=k，则假定不等式成立。也就是2kk2-2，N=k 1点2k 1=22k2 (k2-2)2(k2-2)(k-1)2-4k 2-2k-30(k 1)(k-3)0k3，因此必须验证n=1，2，3点命题成立。因此，d .8.已知f(n)=(2n 7) 3n 9，自然数m，因此，对于任意N-N-N *，如果m可除以f(n)，则最大的m值为()A.30B.26C.36D.6回答 C分析 f(1)=36，f(2)=108=336，f(3)=360=1036，因此f(1)，f(2)，f()9.已知系列an的前n项和sn=n2an (n 2)，a1=1，a2，a3，a4，猜测an=()A.B.C.D.回答 BSn=n2an已知的sn 1=(n 1) 2an 1sn 1-sn=(n 1) 2an 1-n2anan 1=(n 1)2an 1-n2anan 1=an(n2)。N=2时，S2=4a2，S2=a1 a2，a2=A3=a2=，a4=a3=。A1=1，a2=，a3=，a4=猜测an=，所以选择b。10.在不等式n 1(nn)的情况下，学生的证明过程如下：(1)如果n=1， 1的不等式成立。(2)假设n=k (k n)，不等式成立(n 2)。证明 n=2时左=0=右，不等式成立。假设n=k (k 2，kn *)时不等式成立。就是.是。那么，当n=k 1时.=，n=k 1时，不等式成立。可见所有NN *和n2的不等式成立。17.平面中有n条线，其中两条线在一点相接，三条线不在同一点相接。寻求证据：这n条线将它们所在的平面划分为多个区域。证明 (1) n=2时，两条直线相交，将平面分成四个区域，命题成立。假设(2) n=k (k 2)时，k线将平面划分为块的不同区域，从而命题成立。如果N=k 1，则将其中一条线设定为l，将另一条k线将平面分割为图块区域，线l与其馀k线相交，将l分割为k 1线段，每个线段加入k 1图块，将该区域分割为两部分。然后，线k 1将平面分为k 1=图块面积。因此，n=k 1命题也成立。根据(1)(2)，原来的命题成立。18.(2020计量第2检测)比较2n 2和n 2的大小(NN *)，并用数学推导证明你的结论。分析主题可以获得以下关键信息：这个问题为了寻找2n 2和n 2的大小关系，选择了特殊的值。利用数学推导证明了推测的结论。解决这个问题的关键是首先使用特殊值猜测。解决方案 n=1时，21 2=4 N2=1，N=2时，22 2=6 N2=4，N=3时，23 2=10 N2=9，N=4时，24 2=18 N2=16，这是可以推测的。2n 2 N2(n-n *)成立以下是数学推导的证明：(1) n=1时，左侧=21 2=4，右侧=1，所以左边的右边是，所以原来的不平等就成立了。N=2时左=22 2=6，右=22=4，因此左右；如果N=3，则左侧=23 2=10，右侧=32=9，所以左向右。(2)假设n=k点(k3和kn *)，不等式成立，也就是2k 2k2。那么，如果n=k 12k 1 2=22k 2=2 (