关于函数的对称性和周期性

关于函数的对称性和周期性邮编：224400 江苏省阜宁中学 张敬祝函数的对称性、周期性是函数的两个基本性质。在中学数学中，研究一个函数，首看定义域、值域，然后就要研究对称性（中心对称、轴对称）、周期性，并且在高考中也经常考察函数的对称性、周期性以及它们之间的联系，2020年，广东、福建两省的高考题均出现大题和小题。下面我们就一些常见的性质进行研究。一、函数的对称性1、函数满足时，函数的图象关于直线对称。证明：在函数上任取一点（x1，y1），则，点（x1，y1）关于直线的对称点（，y1），当时，故点（，y1）也在函数图象上。由于点（x1，y1）是图象上任意一点，因此，函数的图象关于直线对称。（注：特别地，a=b=0时，该函数为偶函数。）2、函数满足时，函数的图象关于点（，）对称。证明：在函数上任取一点（x1，y1），则，点（x1，y1）关于点 （，）的对称点（，cy1），当时， ，即点（，cy1）在函数的图象上。由于点（x1，y1）为函数图象上的任意一点可知，函数的图象关于点（，）对称。（注：当a=b=c=0时，函数为奇函数。）3、函数的图象与的图象关于直线对称。证明：在函数上任取一点（x1，y1），则，点（x1，y1）关于直线对称点（，y1）。由于，故点（，y1）在函数上。由点（x1，y1）是函数图象上任一点，因此与关于直线对称。二、周期性1、一般地，对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有，那么函数就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。2、对于非零常数A，若函数满足，则函数必有一个周期为2A。证明：函数的一个周期为2A。3、对于非零常数A，函数满足，则函数的一个周期为2A。证明：略。4、对于非零常数A，函数满足，则函数的一个周期为2A。证明：略。三、对称性和周期性之间的联系1、函数有两根对称轴x=a，x=b时，那么该函数必是周期函数，且对称轴之间距离的两倍必是函数的一个周期。已知：函数满足，（ab），求证：函数是周期函数。证明：得得函数是周期函数，且是一个周期。2、函数满足和（ab）时，函数是周期函数。（函数图象有两个对称中心（a，）、（b，）时，函数是周期函数，且对称中心距离的两倍，是函数的一个周期。）证明：由 得 得 函数是以2b2a为周期的函数。3、函数有一个对称中心（a，c）和一个对称轴）（ab）时，该函数也是周期函数，且一个周期是。证明：略。四、知识运用2020高考中，福建、广东两省的试卷都出现了对这方面的知识的考查，并且福建卷的12题是一个错题。现一并录陈如下，供大家参考。1、（2020福建理）是定义在R上的以3为周期的奇函数，且，则方程在区间（0，6）内解的个数的最小值是（ ）A2B3C4D5解：是R上的奇函数，则，由得， x=1，2，3，4，5时，这是答案中的五个解。但是 又 知 而 知 也成立，可知：在（0，6）内的解的个数的最小值为7。2、（2020广东 19）设函数在（，）上满足，且在闭区间0，7上，只有。试判断函数的奇偶性；试求方程在闭区间2020，2020上的根的个数，并证明你的结论。解：由，得函数的对称轴为，。由前面的知识可知函数的一个周期为T=10。因为函数在0，7上只有可知 ，又 而 且，则，因此，函数既不是奇函数，也不是偶函数。由，可得故函数在0，10和1