2020-2021学年高中数学 第1章 三角函数 1.6 三角函数模型的简单应用学案 新人教A版必修4VIP

1.6三角函数模型的简单应用学 习 目 标核 心 素 养1.会用三角函数模型yasin(x)b解决一些具有周期变化规律的实际问题(重点)2将某些实际问题抽象为三角函数模型(难点)通过把实际问题抽象成三角函数模型，提升数学抽象、数学运算和数学建模素养.1三角函数可以作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型其基本模型可化为yasin(x)b的形式2解三角函数应用题的基本步骤：(1)审清题意；(2)搜集整理数据，建立数学模型；(3)讨论变量关系，求解数学模型；(4)检验，作出结论1电流i(a)随时间t(s)变化的关系是i2sin 100t，t(0，)，则电流i变化的周期是()a.b100c.d50ct.2.如图所示，一个单摆以oa为始边，ob为终边的角()与时间t(s)满足函数关系式sin，则当t0时，角的大小及单摆频率是()a.，b2，c.，d2，at0时，sin；又t，所以单摆频率为.3如图为某简谐运动的图象，则这个简谐运动需要_s往返一次08观察图象可知此简谐运动的周期t0.8，所以这个简谐运动需要0.8 s往返一次4如图所示的图象显示的是相对于平均海平面的某海湾的水面高度y(m)在某天24 h内的变化情况，则水面高度y关于从夜间0时开始的时间x的函数关系式为_y6sinx设y与x的函数关系式为yasin(x)(a0，0)，则a6，t12，.当x9时，ymax6.故92k，kz.取k1得，即y6sinx.三角函数图象的应用【例1】(1)函数yxsin|x|，x，的大致图象是()a bcd(2)作出函数y|cos x|的图象，判断其奇偶性、周期性并写出单调区间思路点拨：(1)根据函数的奇偶性和图象对称性的关系判断(2)依据y|cos x|画图，并判断此函数的性质(1)cyxsin|x|是非奇非偶函数，图象既不关于y轴对称，也不关于原点对称，故选c.(2)解y|cos x|图象如图所示由图象可知：t；y|cos x|是偶函数；单调递增区间为，kz，单调递减区间为，kz.(1)一般方法是根据图象所反映出的函数性质来解决，如函数的奇偶性、周期性、对称性、单调性、值域，此外零点也可以作为判断的依据(2)一些函数图象可以通过基本三角函数图象翻折得到例如：由函数yf(x)的图象要得到y|f(x)|的图象，只需将yf(x)的图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方，x轴上方的图象保持不动，即“上不动，下翻上”由函数yf(x)的图象要得到yf(|x|)的图象，应保留yf(x)位于y轴右侧的图象，去掉y轴左侧的图象，再由y轴右侧的图象翻折得到y轴左侧的图象，即“右不动，右翻左”跟进训练1函数yln cos x的大致图象是()a函数为偶函数，排除b，d，又x时，cos x1，这时ln cos x0，故选a.三角函数模型在物理学中的应用【例2】已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s4sin，t0，)(1)用“五点法”作出这个函数的简图；(2)小球在开始振动(t0)时的位移是多少？(3)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？(4)经过多长时间小球往复振动一次？思路点拨：确定函数yasin(x)中的参数a，的物理意义是解题关键解(1)列表如下：t2t02sin01010s04040描点、连线，图象如图所示(2)将t0代入s4sin，得s4sin 2，所以小球开始振动时的位移是2 cm.(3)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm和4 cm.(4)因为振动的周期是，所以小球往复振动一次所用的时间是 s.处理物理学问题的策略(1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性(2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题跟进训练2单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s(单位：cm)和时间t(单位：s)的函数关系式为s6sin.(1)当单摆开始摆动(t0)时，离开平衡位置的距离是多少？(2)当单摆摆动到最右边时，离开平衡位置的距离是多少？(3)单摆来回摆动一次需多长时间？解(1)由s6sin得t0时，s6sin3(cm)，所以单摆开始摆动时，离开平衡位置的距离是3 cm；(2)由解析式知，振幅为6，单摆摆动到最右边时，离开平衡位置的距离是6 cm；(3)t1，即单摆来回摆动一次需1 s.三角函数模型的实际应用探究问题在处理曲线拟合和预测的问题时，通常需要几个步骤？提示：(1)根据原始数据绘出散点图(2)通过考察散点图，画出与其“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据【例3】已知某海滨浴场的海浪高度y(m)是时间t(h)的函数，其中0t24，记yf(t)，下表是某日各时的浪高数据：t03691215182124y1.51.00.51.01.510.50.991.5经长期观测，yf(t)的图象可近似地看成是函数yacos tb的图象(1)根据以上数据，求其最小正周期，振幅及函数解析式；(2)根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8：00到20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？思路点拨：(1)根据y的最大值和最小值求a，b，定周期求.(2)解不等式y1，确定有多少时间可供冲浪者活动解(1)由表中数据可知，t12，.又t0时，y1.5，ab1.5；t3时，y1.0，得b1.0，所以振幅为，函数解析式为ycost1(0t24)(2)y1时，才对冲浪爱好者开放，ycost11，cost0,2kt2k，即12k3t12k3(kz)又0t24，所以0t3或9t15或21t24，所以在规定时间内只有6个小时冲浪爱好者可以进行活动，即9t15.1若将本例(2)中“大于1 m”改为“大于1.25 m”，结果又如何？解由ycost11.25得cost，2kt2k，kz，即12k2t12k2，kz.又0t24，所以0t2或10t14或22t24，所以在规定时间内只有4个小时冲浪爱好者可以进行活动，即10t14.2若本例中海滨浴场某区域的水深y(m)与时间t(h)的数据如下表：t(h)03691215182124y(m)10.013.09.97.010.013.010.17.010.0用yasin tb刻画水深与时间的对应关系，试求此函数解析式解函数yasin tb在一个周期内由最大变到最小需936(h)，此为半个周期，函数的最小正周期为12 h，因此12，.又当t0时，y10；当t3时，ymax13，b10，a13103，所求函数的解析式为y3sin t10(0t24)解三角函数应用问题的基本步骤提醒：关注实际意义求准定义域1三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型，三角函数模型在研究物理、生物、自然界中的周期现象(运动)有着广泛的应用2三角函数模型构建的步骤：(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象(2)制作散点图，选择函数模型进行拟合(3)利用三角函数模型解决实际问题(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验1与图中曲线对应的函数解析式是()ay|sin x|bysin |x|cysin |x| dy|sin x|c注意题图中的函数值的正负，因此可排除选项a，d.当x(0，)时，sin |x|0，而图中显然是小于零，因此排除选项b，故选c.2某人的血压满足函数式f(t)24sin 160t110，其中f(t)为血压，t为时间，则此人每分钟心跳的次数为()a60b70 c80d90c这里160，则t，所以此人每分钟心跳的次数为80次3一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式为s3cos，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l_cm.由已知得1，所以2，42，l.4如图，某动物种群数量1月1日低至700,7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化(1)求出动物种群数量y关于时间t的函数表达式；(其中t以年初以来的月为计量单位)(2)估计当年