高中数学 第三章 函数的应用 3.2.2 函数模型的应用实例教材梳理素材 新人教A版必修1（通用）

3.2.2 函数模型的应用实例疱丁巧解牛知识巧学升华1.在研究某些实际问题时，常需要实施以下一系列过程（1）建立实际问题中的变量之间的函数关系，从而将实际问题转化为函数问题；（2）运用所学知识研究函数问题，得到函数问题的解；（3）将函数问题的解翻译或解释成实际问题的解，从而解决实际问题.2.数学模型方法 通过建立实际问题的数学模型来解决问题的方法称为数学模型方法，简称建模. 资料剖析:建立数学模型的三个步骤：（1）建模.抽象出实际问题的数学模型；（2）推理、演算.对数学模型进行逻辑推理或数学演算，得到问题的数学意义上的解；（3）评价、解释.对求得的数学结果进行深入地讨论，作出评价、解释，返回到原来的实际问题中去，得到实际问题的解. 建模的三个步骤图示如下： 深化升华从图表中的第一步：，这一步应从审题开始，通过分析和抽象找出题设和结论的数学关系，进一步转化为函数问题来求解，即建立合理的数学模型，因此，这一步称之为数学化；第二步：，这一步就是采用数学的方法，解决函数模型所表述的数学问题，因此，这一步称之为数学解决；第三步：数学模型的解实际问题的解，这一步就是将数学结论转化为实际问题的结论，因此，这一步称之为实际化；最后一步是对实际问题的结论作出解答.问题思路探究问题1 建立数学模型是解决数学问题的主要方法，数学建模一般分为识模、析模、建模、解模、验模五个步骤.我们应如何走好这5步骤呢？探究:识模就是把应用问题的外部信息和自己已有的内部经验相对照，初步判断问题解决的方向；析模就是精读问题，做到“咬文嚼字”，抓住关键字词，化简转换问题，注意已知量，发现未知量，挖掘隐含量；建模是通过数学符号化，把问题转化为数学模型的过程；解模时我们可以借助计算机等数学工具对所建模型求解；由于应用问题本身的繁杂性、开放性，根据自己理解所建立的模型也有局限性，最后要对模型的解检验，或取或舍，或重新修正模型，直到满意为止.有些问题还需要我们利用信息技术收集数据、绘图、计算、拟合函数.问题2 如何理解数学家华罗庚曾经说过的这段话：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，日用之繁，无处不用数学”？探究:这是因为指数函数、对数函数以及幂函数是描述客观变化规律的重要数学模型，比如价格与利润、成本与收入、纳税、交通安全、人口等问题都可以借助函数模型来解决.典题热题新题例1 某工厂计划出售一种产品，固定成本为200万元，生产每台产品的可变成本为3 000元，每台产品的售价为5 000元，求总产量x对总成本Q、单位成本P、销售收入R以及利润L的函数关系，并作出简要分析.思路解析：（1）从利润关系可见，欲获得较大利润，应增加产量（在不考虑销售的情况下），若x1 000，则要亏损；若x=1 000，则利润为零；若x1 000，则可赢利.这也可从图象看出，两条直线的交点就是平衡点.（2）从单位成本与总产量呈反比例的关系可见，为了降低成本，应增加产量，这样才能降低成本，形成规模效益.解：总成本与总产量的关系Q=2 000 000+3 000x； 单位成本与总产量的关系P=+3 000； 销售收入与总产量的关系R=5 000x； 利润与总产量的关系L=R-Q=2 000x-2 000 000. 深化升华 注意此处空半格在构建函数模型的过程中，如果涉及的变量较多，模型较为复杂，可采用层层分解的办法去找出变量间较为简单的对应关系，再解决较为复杂的函数模型间的关系.同时要注意借助于图形的直观性去寻找问题的答案.例2 “依法纳税是每个公民应尽的义务”，国家征收个人工资、薪金所得税是分段计算的：总收入不超过1 000元的，免征个人工资、薪金所得税；超过1 000元部分需征税.设全月纳税所得额（所得额指工资、薪金中应纳税的部分）为x，x=全月总收入-1 000元，税率见下表：级 数全月应纳税所得额x税 率1不超过500元部分5%2超过500元至2 000元部分10%3超过2 000元至5 000元部分15%9超过100 000元部分45%（1）若应纳税额为f（x），试用分段函数表示13级纳税额f（x）的计算公式；（2）某人2000年10月份工资总收入为4 200元，试计算这个人10月份应纳个人所得税多少元？思路解析：因为在不同的收入段有不同的税率，所以，这也是分段函数问题，解题时要在每一段自变量建立相应的函数表达式.解：（1）依税率表，有 第一段：x5%； 第二段：（x-500）10%+5005%； 第三段：（x-2 000）15%+1 50010%+5005%， 即f（x）=（2）这个人10月份纳税所得额x=4 200-1 000=3 200，f（3 200）=0.15x（3 200-2 000）+175=355.答：这个人10月份应缴纳个人所得税355元. 深化升华 注意此处空半格要求某人收入纳税时，需求出超过1 000元部分，即函数自变量x的值，然后对照分段函数，确定其属于哪一段，即可计算纳税值.例3 某蔬菜基地种植西红杮，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红杮市场售价与上市时间的关系用图的一条折线表示；西红杮的种植成本与上市时间的关系用图的抛物线段表示.（1）写出图表示的市场售价与时间的函数关系式P=f（t）；写出图表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g（t）；（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红杮收益最大？（注：市场售价和种植成本的单位：元/102 kg，时间单位：天）思路解析：解此题，应先由函数的图象建立函数关系式f（t）、g（t），然后求函数的最大值，把喜闻乐见的一个实际问题转化成一个数学问题.解：（1）由图可知，市场售价与时间的函数关系为 f（t）= 由图可得种植成本与时间的函数关系为g（t）=（t-150）2+100（0t300）.（2）设t时刻的纯收益为h（t），则由题意得h(t)=f(t)-g(t)= 讨论：当0t200时，配方整理，得h（t）=-（t-50）2+100,当t=50时，h（t）在区间0，200上取得最大值100；当200t300时，配方整理，得h（t）=-（t-350）2+100,当t=300时，h（t）在区间（200，300）上取得最大值87.5. 综合以上讨论，由10087.5，可知h（t）在区间0，300上可以取得最大值100，此时t=50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红杮收益最大. 拓展延伸 注意此处空半格分段函数是同一函数，分段函数的最大值是每段上最大值中的最大值.例4 我国农业科学家在某地区研究玉米植株生长与时间的函数关系，通过观测、分析，列出了该地区玉米在不同阶段的高度数据：生长阶段1234567891011植株高度（cm）0.670.851.281.752.272.753.694.716.367.739.91生长阶段1213141516171819202122植株高度（cm）12.7516.5520.127.3532.5537.5544.7553.3871.6183.8997.46生长阶段232425262728293031植株高度（cm）112.73135.12153.6160.32167.05174.9177.87180.19180.79（1）画出函数图形，近似地写出一个函数关系式表达两个变量之间的关系；（2）利用得出的关系式，与表中实际数据比较；（3）说出关系式给出的一些信息.思路解析：指数函数、对数函数以及幂函数是描述客观变化规律的重要数学模型，本题通过画出函数图形，假设为指数函数，结合图表，可以清楚地看出，第1到第6个生长阶段与实际得到的数据误差很小，后面的数据误差较大. 解：（1）画出函数图形（如下图所示），函数的图形近似于“S”形.（2）以我们现有的知识很难找出一个函数关系式来近似地表达这个图形，但我们仔细观察第1个生长阶段至第25个生长阶段的函数图象后会发现，它与我们比较熟悉的指数函数的图象相像. 下面我们来考虑给出第1至第25个生长阶段的一个指数函数关系式. 假设指数函数为y=aebx，并且通过点（2，0.85）和（23，112.73），把这两个点的坐标代入函数关系式，解方程组得a=0.534，b=0.233. 因此，用指数函数近似得到的关系式为y=f（x）=0.534e0.233x. 由得到的关系式计算出各个生长阶段的近似值如下表：生长阶段x12345678910111213函数值f(x)0.670.851.071.361.712.162.733.444.345.486.928.7411.03生长阶段x141516171819202122232425函数值f(x)13.9317.5822.228.0235.3744.6656.3771.1689.84113.41143.1718