陕西2020陕西高考题数列 北师大版

陕西陕西 20202020 陕西高考题数列陕西高考题数列 北师大版北师大版 (2020)（20）(本小题满分 12 分) 在等差数列 24 1 ,0, n d aaaa 在等差数列中公差与的等差中项, 是 已知数列成等比数列,求数列的通项 1213 , nkkka a a aa nknk （20）解：由题意得：1 分 2 214aa a 即3 分 2 11 (3 ) 1 () d d a aa 又4 分0,d 1 d a 又成等比数列, 1213 , nkkka a a aa 该数列的公比为，6 分 3 1 3 3 d q d a a 所以8 分 1 13n n kaa 又10 分 11 (1) nknn d aakk a 1 3 n nk 所以数列的通项为 nk 1 3 n nk (2020_)（） （本小题分） 已知正项数列，其前项和满足且成等比 n an n S 2 1056, nnn Saa 1215 ,a a a 数列，求数列的通项 n a. n a 20.解: 10Sn=an2+5an+6, 10a1=a12+5a1+6,解之得 a1=2 或 a1=3. 又 10Sn1=an12+5an1+6(n2), 由得 10an=(an2an12)+6(anan1),即(an+an1)(anan15)=0 an+an10 , anan1=5 (n2). 当 a1=3 时,a3=13,a15=73. a1, a3,a15不成等比数列a13; 当 a1=2 时, a3=12, a15=72, 有 a32=a1a15 , a1=2, an=5n3. (2020)22. (本小题满分 12 分) 已知各项全不为零的数列ak的前k项和为Sk,且SkN N* *),其中a1=1. kaa kk ( 2 1 1 ()求数列ak的通项公式; ()对任意给定的正整数n(n2),数列bk满足（k=1,2,，n-1）,b1=1. 1 1 k kk bkn ba 求b1+b2+bn. 解：（）当，由及，得1k 1112 1 2 aSa a 1 1a 2 2a 当时，由，得2k 111 11 22 kkkkkkk aSSa aaa 11 ()2 kkkk a aaa 因为，所以从而0 k a 11 2 kk aa 21 1 (1) 221 m amm A ，故 2 2(1) 22 m ammA * mN * () k ak kN （）因为，所以 k ak 1 1 1 k kk bnknk bak 所以 1 12 1 121 (1)(2)(1) ( 1)1 (1)2 1 k kk k kk bbbnknkn bb bbbk k AA AAAA AA A A 1 1 ( 1)(12) kk n Ckn n A， 故 123n bbbb 1231 1 ( 1)n n nnnn CCCC n 012 11 1( 1)n n nnnn CCCC nn A 2020 22 （本小题满分 14 分） 已知数列的首项， n a 1 3 5 a 1 3 21 n n n a a a 12n ， （）求的通项公式； n a （）证明：对任意的，；0 x 2 112 1(1)3 n n ax xx 12n ， （）证明： 2 12 1 n n aaa n 22解法一：（）， 1 3 21 n n n a a a 1 121 33 nn aa 1 111 11 3 nn aa 又，是以为首项，为公比的等比数列 12 1 3 n a 1 1 n a 2 3 1 3 ， 1 1212 1 3 33 nn n a A 3 32 n n n a （）由（）知， 3 0 32 n n n a 2 112 1(1)3n x xx 2 112 1 1 1(1)3n x xx 2 111 (1) 1(1) n x xxa 2 112 (1)1 n axx A ，原不等式成立 2 11 1 nn n aa ax n a （）由（）知，对任意的，有0 x 12 222 112112 1(1)31(1)3 n aaaxx xxxx 2 112 1(1)3n x xx 22 1222 1(1)333n n nx xx 取， 2 21 1 1 2221133 1 13333 1 3 n nn x nn n 则 22 12 111 1 111 33 n n n nnn aaa n n n 原不等式成立 解法二：（）同解法一 （）设， 2 112 ( ) 1(1)3n f xx xx 则 2 222 22 (1)2(1)2 133 ( ) (1)(1)(1) nn xxxx fx xxx A ，0 x 当时，；当时， 2 3n x ( )0fx 2 3n x ( )0fx 当时，取得最大值 2 3n x ( )f x 21 2 3 1 3 n n n fa 原不等式成立 （）同解法一 2020 22 （本小题满分 12 分） 已知数列 n x满足， * 11 11 , 21 n n xxnN x . 猜想数列 n x的单调性，并证明你的结论； ()证明： 1 1 1 2 |( ) 6 5 n nn xx -| 。 22 题 证（1）由 1n+1244 n 112513 213821 xxxxx x 及得， 由 246 xxx猜想：数列 2n x是递减数列 下面用数学归纳法证明： （1）当 n=1 时，已证命题成立 （2）假设当 n=k 时命题成立，即 222kk xx 易知 2 0 k x，那么 2321 2224 21232123 11 11(1)(1) kk kk kkkk xx xx xxxx = 222 2212223 0 (1)(1)(1)(1) kk kkkk xx xxxx 即 2(1)2(1) 2kk xx 也就是说，当 n=k+1 时命题也成立，结合（1）和（2）知，命题成立 （2）当 n=1 时， 121 1 6 nn xxxx ，结论成立 当2n 时，易知 11 1 11 01,12, 12 nnn n xxx x 111 1 15 (1)(1)(1)(1)2 12 nnnn n xxxx x 1 1 11 11 11(1)(1) nn nn nnnn xx xx xxxx 2n-1 11221 n-1 222 555 1 2 6 5 nnnn xxxxxx （）（） （） 2020 16.（本小题满分 12 分） 已知 n a是公差不为零的等差数列， 1 1a 且 139 ,a a a成等比数列 （1）求数列 n a的通项公式 （2）求数列的前 N 项和 n S 1139 a 231 n 12d1 8 1, 112 1,0( 1 (1) 1 (2)2 , 2(1 2 ) 222222 1 2 n nn n n nn d aa a a d dd aann n S 解（1）由题设知公差d0 由成等比数列得 解得舍去） 故的通项 由（1）知2 由等比数列前项和公式得 2020 19 （本小题满分 12 分） 如图，从点 P1（0，0）作轴的垂线交曲线于点，曲线在点处的切线与x x ye 1(0,1) Q 1 Q 轴交于点再从做轴的垂线交曲线于点，依次重复上述过程得到一系列点：x 2 P 2 Px 2 Q ；，记点的坐标为（） 11 ,P Q 22 ,P Q, nn P Q k P(,0) k x0,1,2,kn （1）试求与的关系（） ； k x 1k x 2kn （2）求 112233 | nn PQPQPQPQ 【分析】 （1）根据函数的导数求切线方程，然后再求切线与轴的交点坐标；（2）尝试求x 出通项的表达式，然后再求和| nn PQ 【解】 （1）设点的坐标是， 1k P 1 (,0) k x x ye x ye ，在点处的切线方程是， 1 11 (,) k x kk Qxe 1 11 (,) k x kk Qxe 11 1 () kk xx k yeexx 令，则（） 0y 1 1 kk xx 2kn （2）， 1 0 x 1 1 kk xx (1) k xk ，于是有 (1) | k xk kk PQee 112233 | nn PQPQPQPQ 12(1) 1 1 1 1 n k e eee e ， 1 1 n ee e 即 112233 | nn PQPQPQPQ 1 1 n ee e 2020 17.（本小题满分 12 分） 设 n a的公比不为 1 的等比数列，其前n项和为 n S，且 534 ,a a a成等差数列 （1）求数列 n a的公比； （2）证明：对任意kN， 21 , kkk SSS 成等差数列 【解析】 （1）设数列 n a的公比为q（01qq，） 。 由 534 aaa，成等差数列，得 354 2aaa，即 243 111 2a qa qa q。 由 1 00aq，得 2 20qq，解得 1 2q ， 2 1q （舍去） ，所以2q 。 （2）证法一：对任意kN， 2121 2 kkkkkkk SSSSSSS 121kkk aaa 11 220 kk aa ， 所以，对任意kN， 21 , kkk SSS 成等差数列。 证法二