2020-2021学年高中数学 第2章 基本初等函数（Ⅰ）2.1 指数函数 2.1.1 指数与指数幂的运算 第2课时 指数幂及运算学案 新人教A版必修1

第2课时指数幂及运算学 习 目 标核 心 素 养1理解分数指数幂的含义，掌握根式与分数指数幂的互化(重点、难点)2掌握实数指数幂的运算性质，并能对代数式进行化简或求值(重点)1通过分数指数幂、运算性质的推导，培养逻辑推理素养2借助指数幂的运算性质对代数式化简或求值，提升数学运算素养.1分数指数幂的意义分数指数幂正分数指数幂规定：a(a0，m，nn*，且n1)负分数指数幂规定：a(a0，m，nn*，且n1)0的分数指数幂0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义思考：在分数指数幂与根式的互化公式a中，为什么必须规定a0?提示：若a0,0的正分数指数幂恒等于0，即a0，无研究价值若a0.2有理数指数幂的运算性质,(1)arasars(a0，r，sq)(2)(ar)sars(a0，r，sq)(3)(ab)rarbr(a0，b0，rq)3无理数指数幂一般地，无理数指数幂a(a0，是无理数)是一个确定的实数有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂1下列运算结果中，正确的是()aa2a3a5b(a2)3(a3)2c(1)01d(a2)3a6aa2a3a23a5；(a2)3a6(a3)2a6；(1)01，若成立，需要满足a1，故选a.24等于()a25b.c.d.b4，故选b.3已知a0，则a等于()a. b. c.dba.4(m)4(1)0_.m21(m)4(1)0m21.根式与分数指数幂的互化【例1】(1)(多选题)下列各式中成立的是()a.b.(xy)c.d.a(2)已知x4，则x等于()ab8c.d2(3)将下列根式化成分数指数幂的形式：；a；.(1)cd(2)a(1)33，故a错误(x3y3)，故b错误(9)(3)3，故c正确(a)a，故d正确(2)由x4得4，即，x2，x，故选a.(3)解：(a)aa.由题意知，a0，a，a(a).根式与分数指数幂互化的规律(1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题1用分数指数幂的形式表示a为()aab(a) c(a)dab由题意知a0，a0.a，a(a)，故选b2.将下列根式与分数指数幂进行互化：(1)a3；(2)(a0，b0)利用分数指数幂的运算性质化简求解【例2】(教材改编题)化简求值： (2)(a2b3)(4a1b)(12a4b2c)；(3)243.指数幂运算的常用技巧(1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算.(2)负指数幂化为正指数幂的倒数.(3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质.提醒：化简的结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数. 指数幂运算中的条件求值探究问题1和存在怎样的等量关系？提示：4.2已知的值，如何求a的值？反之呢？提示：设m，则两边平方得am22；反之若设an，则nm22，m.即.【例3】(1)若2x7,2y6，则4xy等于()a.b.c. d.(2)已知aa4，求下列各式的值：aa1；a2a2.(1)d由2x7,2y6得4xy，故选d.(2)解将aa4两边平方，得aa1216，故aa114.将aa114两边平方，得a2a22196，故a2a2194.1在本例(2)条件不变的条件下，求aa1的值解令aa1t，则两边平方得a2a2t22，t22194，即t2192，t8，即aa18.2在本例(2)条件不变的条件下，求a2a2的值解由上题可知，a2a2(aa1)(aa1)814112.解决条件求值的思路(1)在利用条件等式求值时，往往先将所求式子进行有目的的变形，或先对条件式加以变形，沟通所求式子与条件等式的联系，以便用整体代入法求值.(2)在利用整体代入的方法求值时，要注意完全平方公式的应用.1核心要点：(1)根式与分数指数幂的互化(2)对根式进行运算时，一般先将根式化成分数指数幂，这样可方便使用同底数幂的运算律2数学思想：解决较复杂的条件求值问题时，“整体思想”是简化求解的“利器”1.思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)0的任何指数幂都等于0.()(2)5.()(3)分数指数幂与根式可以相互转化，如a.()(4)a可以理解为个a.()答案(1)(2)(3)(4)2