2021版高考数学一轮复习 核心素养测评三十七 数列（含函数特性） 理 北师大版

核心素养测评三十七 数列（含函数特性）(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.已知数列an的通项公式an=2n-4,nn*,若它的第k项满足2ak5,则k=()a.2b.3c.4d.5【解析】选c.数列an的第k项满足2ak5,即22k-45,解得3k4.5.因为kn*,所以k=4.2.在数列an中,已知a4=3,a9=5,且an-1+an+an+1=9(nn*,n2),则a2 020的值是()a.1b.3c.5d.9【解析】选b.因为an-1+an+an+1=9(nn*,n2),所以an+an+1+an+2=9,所以an+2=an-1,所以周期为3,所以a2 020=a4=3.3.函数f(x)由下表定义:x25314f(x)12345若a0=5,an+1=f(an)(nn),则a2 021的值为()a.1b.2c.4d.5【解析】选b.因为a0=5,an+1=f(an),所以a1=f(a0)=f(5)=2,a2=f(a1)=f(2)=1,a3=f(a2)=f(1)=4,a4=f(a3)=f(4)=5,a5=f(a4)=f(5)=2,所以a1=a5.所以an是以4为周期的周期数列.所以a2 021=a1=2.4.已知数列an的通项公式为an=9n2-9n+29n2-1(nn*).则下列说法正确的是 ()a.这个数列的第10项为2731b.98101是该数列中的项c.数列中的各项都在区间14,1内d.数列an是单调递减数列【解析】选c.an=9n2-9n+29n2-1=(3n-1)(3n-2)(3n-1)(3n+1)=3n-23n+1.令n=10,得a10=2831,故选项a不正确;令3n-23n+1=98101,得9n=300,此方程无正整数解,故98101不是该数列中的项,故选项b不正确;因为an=3n-23n+1=3n+1-33n+1=1-33n+1,又nn*,所以数列an是单调递增数列,所以14an0,所以an+1an,所以数列an是单调递增数列.答案:递增数列(15分钟35分)1.(5分)定义:称np1+p2+pn为n个正数p1,p2,pn的“均倒数”.若数列an的前n项的“均倒数”为12n-1,则数列an的通项公式为()a.an=2n-1b.an=4n-1c.an=4n-3d.an=4n-5【解析】选c.因为na1+a2+an=12n-1,所以a1+a2+ann=2n-1,所以a1+a2+a3+an=(2n-1)n,a1+a2+an-1=(2n-3)(n-1)(n2),当n2时,an=(2n-1)n-(2n-3)(n-1)=4n-3;a1=1也适合此等式,所以an=4n-3.【变式备选】已知nn*,给出4个表达式:an=0,n为奇数,1,n为偶数,an=1+(-1)n2,an=1+cosn2,an=sin n2.其中能作为数列0,1,0,1,0,1,0,1,的通项公式的是 ()a.b.c.d.【解析】选a.检验知都是所给数列的通项公式.2.(5分)(2020西安模拟)对于数列an,称p(ak)=1k-1i=1k-1ai-ai+1(其中k2,kn)为数列an的前k项“波动均值”.若对任意的k2,kn,都有p(ak+1)p(ak),则称数列an为“趋稳数列”.若数列1,x,2为“趋稳数列”,则实数x的取值范围为()a.32,+b.-,32c.12,32d.-12,32 【解析】选a.因为数列1,x,2,所以p(a2)=|a1-a2|=|1-x|,p(a3)=13-1i=12ai-ai+1=12a1-a2+a2-a3=121-x+x-2,因为数列1,x,2为“趋稳数列”,所以pa3pa2,即121-x+x-232,所以x的取值范围为32,+.3.(5分)已知数列an满足an+1=an-an-1(n2),a1=m,a2=n,sn为数列an的前n项和,则s2 023=_.【解析】因为an+1=an-an-1(n2),a1=m,a2=n,所以a3=n-m,a4=-m,a5=-n,a6=m-n,a7=m,a8=n,所以an+6=an(nn*).则s2 023=s3376+1=337(a1+a2+a6)+a1=3370+m=m.答案:m【变式备选】已知数列an的前n项和sn满足an+2snsn-1=0(n2,nn*),a1=12,则通项公式为_.【解析】因为当n2,nn*时,an=sn-sn-1,所以sn-sn-1+2snsn-1=0,1sn-1sn-1=2,所以1sn是公差为2的等差数列.因为s1=a1=12,所以1s1=2,所以1sn=2+(n-1)2=2n,即sn=12n.当n2时,an=sn-sn-1=12n-12(n-1)=-12n(n-1).当n=1时,a1=12,不满足上式,所以数列an的通项公式为an=12,n=1,-12n(n-1),n2.答案:an=12,n=1,-12n(n-1),n24.(10分)若a1=1,an+1=2anan+2,求数列an的通项公式.【解析】因为an+1=2anan+2,a1=1,所以an0,所以1an+1=1an+12,即1an+1-1an=12.又a1=1,则1a1=1,所以1an是以1为首项,12为公差的等差数列,所以1an=1a1+(n-1)12=n2+12.所以an=2n+1(nn*).5.(10分)已知数列an中,an=1+1a+2(n-1)(nn*,ar且a0).(1)若a=-7,求数列an中的最大项和最小项的值.(2)若对任意的nn*,都有ana6成立,求a的取值范围.【解析】(1)因为an=1+1a+2(n-1)(nn*,ar且a0),又a=-7,所以an=1+12n-9(nn*).结合函数f(x)=1+12x-9的单调性,可知1a1a2a3a4,a5a6a7an1(nn*).所以数列an中的最大项为a5=2,最小项为a4=0.(2)an=1+1a+2(n-1)=1+12n-2-a2,已知对任意的nn*,都有ana6成立,结合函数f(x)=1+12x-2-a2的单调性,可知52-a26,即-10a0),求导得f(x)=-33x2+1.令f(x)0,解得