2021版高考数学一轮复习 核心素养测评四十八 空间直角坐标系、空间向量及其运算 理 北师大版

核心素养测评四十八 空间直角坐标系、空间向量及其运算(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.设平面的一个法向量为n1=(1,2,-2),平面的一个法向量为n2=(-2,-4,k),若,则k=()a.2b. 4c.-2 d.-4【解析】选b.因为,所以两个平面的法向量也平行,所以k-2=-21,即k=4.2.在空间直角坐标系中,已知a(1,-2,1),b(2,2,2),点p在z轴上,且满足|=|,则p点坐标为()a.(3,0,0) b.(0,3,0)c.(0,0,3) d.(0,0,-3)【解析】选c.设p(0,0,z),则有(1-0)2+(-2-0)2+(1-z)2=(2-0)2+(2-0)2+(2-z)2,解得z=3.3.若非零向量a,b 满足|a|=|b|,(2a+b)b=0,则a与b的夹角为()a.30b.60c.120 d.150【解析】选c.因为(2a+b)b =0,所以2ab+b2=0,所以2|a|b|cos +|b|2=0,又因为|a|=|b|0,所以cos =-12,所以=120.4.已知点a,b,c不共线,对平面abc外一点o,在下列条件下,点p与a,b,c共面的是()a.op=2oa-2ob-ocb. op=25oa+15ob+15occ.ob+oc=3op-oa d.op+oc=4oa+ob 【解析】选c.c项可变形为op=13oa+13ob+13oc,因为13+13+13=1, 所以点p,a,b,c共面;其他项不可以.5.在空间四边形abcd中,abcd+acdb+adbc =()a.-1b.0 c.1d.不确定【解析】选b.如图,令 ab=a,ac=b,ad=c, 则abcd+acdb +adbc=a(c-b)+b(a-c)+c(b-a)=ac-ab+ba-bc+cb-ca=0.【秒杀绝招】选b.如图,在空间四边形abcd中,连接对角线ac,bd,得三棱锥a-bcd,不妨令其各棱长都相等,即为正四面体,因为正四面体的对棱互相垂直,所以abcd =0, acdb=0, adbc=0.所以 abcd+acdb+adbc=0.6.已知向量a=(2,-1,2),b=(2,2,1),则以a,b为邻边的平行四边形的面积为()a.652b.65c.4d.8【解析】选b.设向量a和b的夹角是,则由空间向量的数量积公式和题意得cos =ab|a|b|=4-2+24+4+14+1+4=49,所以sin =1-1681=659,所以以a和b为邻边的平行四边形的面积为s=212|a|b|659=65.7.已知a,b,c是空间的一个基底,a+b,a-b,c是空间的另一个基底,一向量p在基底a,b,c下的坐标为(4,2,3),则向量p在基底a+b,a-b,c下的坐标是 ()a.(4,0,3)b.(3,1,3)c.(1,2,3) d.(2,1,3)【解析】选b.设p在基底a+b,a-b,c下的坐标为x,y,z.则p=x(a+b)+y(a-b)+zc=(x+y)a+(x-y)b+zc,因为p在a,b,c下的坐标为(4,2,3),所以p=4a+2b+3c,由得x+y=4,x-y=2,z=3,所以x=3,y=1,z=3,即p在a+b,a-b,c下的坐标为(3,1,3).二、填空题(每小题5分,共15分)8.已知a=(x,4,1),b=(-2,y,-1),c=(3,-2,z),ab,bc,则c=_.【解析】因为ab,所以x-2=4y=1-1,解得x=2,y=-4,此时a=(2,4,1),b=(-2,-4,-1),又因为bc,所以bc=0,即-6+8-z=0,解得z=2,于是c=(3,-2,2).答案:(3,-2,2)9.如图所示,pd垂直于正方形abcd所在平面,ab=2,e为pb的中点,cos=33,若以da,dc,dp所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则点e的坐标为_.【解析】设pd=a,则a(2,0,0),b(2,2,0),p(0,0,a),e1,1,a2.所以dp=(0,0,a),ae=-1,1,a2.由cos=33,所以a22=a2+a2433,所以a=2,所以e的坐标为(1,1,1).答案:(1,1,1)10.如图,已知在一个60的二面角的棱上,有两个点a,b,ac,bd分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于ab的线段,且ab=4 cm,ac=6 cm,bd=8 cm,则cd的长为_.【解析】设bd=a,ab=b,ac=c,由已知条件|a|=8,|b|=4,|c|=6,=90,=90,=60,|cd|2=|ca+ab+bd|2=|-c+b+a|2=a2+b2+c2+2ab-2ac-2bc=68,则|cd|=217.答案:217 cm(15分钟35分)1.(5分)已知空间四边形abcd,连接ac,bd,设m,g分别是bc,cd的中点,则mg-ab+ad等于()a.32dbb.3mgc.3gmd.2mg【解析】选b.mg-ab+ad=12bd-(ab-ad)=32bd=3mg.2.(5分)已知非零向量ab与ac满足ab|ab| +ac|ac|bc=0且ab|ab|ac|ac| =12, 则abc为()a.三边均不相等的三角形 b.直角三角形c.等腰非等边三角形 d.等边三角形【解析】选d.由ab|ab| +ac|ac|bc=0知:a的平分线垂直于bc,所以abc为等腰三角形;由ab|ab|ac|ac| =12知a=60,所以abc为等边三角形.3.(5分)如图,已知在直三棱柱abc-a1b1c1中,有下列三个条件:a1bac1;a1bb1c;b1c1=a1c1.试利用、构造出一个正确的命题_. 【解析】设c1a1=a,c1b1=b,c1c=c,由a1bac1a1bac1=0(b-a+c)(-c-a)=0,所以ab=|a|2-| c|2,由a1bb1ca1bb1c=0(b-a+c)( c-b)=0,所以ab=| b|2-| c|2,由b1c1=a1c1得| a|2=|b|2,由不难看出;.答案:(或;)4.(10分)如图所示,已知空间四边形abcd的各边和对角线的长都等于a,点m,n分别是ab,cd的中点.(1)求证:mnab,mncd.(2)求mn的长.(3)求异面直线an与cm所成角的余弦值.【解析】(1)设=p,=q,=r.由题意可知,|p|=|q|=|r|=a,且p,q,r三向量两两夹角均为60.=-=12(+)-12=12(q+r-p),所以=12(q+r-p)p=12(qp+rp-p2)=12(a2cos 60+a2cos 60-a2)=0.所以.即mnab.同理可证mncd.(2)由(1)可知=12(q+r-p),所以|2=14(q+r-p)2=14q2+r2+p2+2(qr-pq-rp)=14a2+a2+a2+2a22-a22-a22=142a2=a22.所以|=22a.所以mn的长为22a.(3)设向量与的夹角为.因为=12(+)=12(q+r),=-=q-12p,所以=12(q+r)q-12p=12q2-12qp+rq-12rp=12a2-12a2cos60+a2cos60-12a2cos60=12a2-a24+a22-a24=a22.又因为|=|=32a,所以=|cos =32a32acos =a22.所以cos =23.所以向量与的夹角的余弦值为23,从而异面直线an与cm所成角的余弦值为23.【误区警示】直线所成角的范围是0,2.5.(10分)如图,在棱长为a的正方体oabc-o1a1b1c1中,e,f分别是棱ab,bc上的动点,且ae=bf=x,其中0xa,以o为原点建立空间直角坐标系oxyz. (1)写出点e,f的坐标.(2)求证:a1fc1e.(3)若a1,e,f,c1四点共面,求证:a1f=12a1c1+a1e.【解析】(1)e(a,x,0),f(a-x,a,0).(2)因为a1(a,0,a),c1(0,a,a),所以a1f=(-x,a,-a),c1e=(a,x-a,-a),所以a1fc1e=-ax+a(x-a)+a2=0,所以a1fc1e,所以a1fc1e.(3)因为a1,e,f,c1四点共面,