2021版高考数学一轮复习 第六章 不等式 6.3 简单线性规划练习 理 北师大版

6.3 简单线性规划核心考点精准研析考点一二元一次不等式(组)表示的平面区域1.(2020佛山模拟)不等式组x-2y+40,x-y+20表示的平面区域是()2.已知实数x,y满足不等式组x-y0,2x+y6,x+y2,则点(x,y)构成的平面区域的面积是()a.3b.52c.2d.323.已知点p(1,-2)及其关于原点的对称点均在不等式2x+by-10表示的平面区域内,则实数b的取值范围是.【解析】1.选b.x-2y+40表示的区域在直线x-2y+4=0的下方及直线上,x-y+20表示的区域在直线x-y+2=0的上方,则对应的区域为选项b.2.选a.根据题意作出不等式组所表示的平面区域,分别求出三个点的坐标a(2,2),b(4,-2),c(1,1),求出点b到直线y=x的距离为32,|ac|=2,所以sabc=12|ac|d=12232=3.3.根据题意,设q与p(1,-2)关于原点对称,则q的坐标为(-1,2),若p,q均在不等式2x+by-10表示的平面区域内,则有2-2b-10,-2+2b-10,解得:12b32,即b的取值范围为12,32.答案:12,32题3中,若将“均在不等式2x+by-10表示的平面区域内”改为“分别位于直线2x+by-1=0的两侧”,则实数b的取值范围是.【解析】由题意(2-2b-1)(-2+2b-1)0,解得b32.答案:-,1232,+1.点与平面区域的关系及应用点在平面区域内,则点的坐标满足表示平面区域的不等式组,若点的坐标不满足不等式组中的任何一个不等式,则点不在平面区域内,这一关系可用于平面区域的判断和求参数的范围.2.求平面区域的面积首先作出平面区域,确定平面区域的形状,其次利用两点间距离公式求距离,点到直线的距离公式求高,进而求面积.【秒杀绝招】排除法解t1,根据选项图形中的特殊点排除不正确选项,如利用原点即可排除选项a.考点二简单线性规划问题中的最值命题精解读1.考什么:(1)考查求最大值、最小值,与平面区域面积相关的问题.(2)考查数学运算、直观想象的核心素养及数形结合、分类与整合等思想方法.2.怎么考:考查线性目标函数的最值为主,有时也涉及非线性目标函数的最值.学霸好方法1.求最值问题的解题思路按照作出可行域,确定并求出最优解,代入目标函数求最值的步骤解题.2.交汇问题: 与基本初等函数交汇时,利用函数的图像与可行域的关系讨论,与向量交汇时借助向量的运算转化目标函数.求线性目标函数的最值【典例】(2020新余模拟)已知实数x,y满足约束条件x+y3,x-y2,x1,则目标函数z=x+2y的最小值为.【解析】由约束条件可得可行域如图:由图得目标函数过可行域内的点a时值最小,联立直线ab、ac方程得点a(1,-1),所以z=x+2y最小值为-1.答案:-1目标函数对应的直线与边界直线倾斜程度大小如何确定?提示:目标函数对应直线与边界直线斜率的大小决定倾斜程度的大小,当斜率同号时,斜率越大,倾斜角越大.求非线性目标函数的最值【典例】(2019太原模拟)已知实数x,y满足x+y2,x-y0,x-3y+60,则z=y-x+1x-1的取值范围为()a.(-,-232,+b.(-,-312,+c.-2,32d.-3,12【解析】选b.z=y-x+1x-1=-1+yx-1,设k=yx-1,则k的几何意义是区域内的点与定点d(1,0)连线的斜率,作出不等式组对应的平面区域如图,a(3,3),b(0,2),由图形知,ad的斜率为3-03-1=32,此时z=12,bd的斜率为2-00-1=-2,此时z=-3,则z=y-x+1x-1的取值范围为(-,-312,+.分式形式的目标函数常见的几何意义是什么?提示:分式形式的目标函数可以变形为两点连线的斜率形式,即转化为斜率求范围.求参数的值或范围【典例】(2020绍兴模拟)给出平面区域如图所示,若目标函数z=x+ay仅在点(2,2)处取得最大值,则a的取值范围为 ()a.0a13d.0a0时,由目标函数z=x+ay得y=-1ax+za,由题意得-3=kac-1a13;当a13.本例中的参数a影响了目标函数的哪个性质?是如何进行讨论的?提示:a的不同取值影响目标函数对应直线的斜率,将已知条件转化为目标函数对应的斜率与边界斜率的大小进行讨论.1.(2020咸阳模拟)已知x,y满足x-y0,2x+y0,x+y-10,则目标函数z=-x+y的最大值是()a.-12b.0c.3d.52.(2020衡阳模拟)若实数x,y满足x1,xy,x+y+20,则z=(x-2)2+y2的最大值为()a.10b.23c.10d.123.(2019芜湖模拟)已知x,y满足约束条件x-2y+40,x+y+a0,2x+y-20,若目标函数z=3x+y的最小值为-5,则z的最大值为()a.2b.3c.4d.5【解析】1.选c.由不等式组画出可行域如图阴影部分.画出目标函数并平移,显然过点a时目标函数的值最大,如图中虚线所示,由2x+y=0x+y-1=0,解得点a(-1,2),代入目标函数得zmax=1+2=3.2.选c.实数x,y满足x1,xy,x+y+20的可行域如图,依题意目标函数z=(x-2)2+y2为可行域内点与点d(2,0)距离的平方,如图,观察计算,|dc|=|db|=10|da|=22,则z=(x-2)2+y2的最大值为10.3.选d.作出不等式组满足的可行域如图:可得直线x+y+a=0与直线x-2y+4=0的交点a,使目标函数z=3x+y取得最小值-5,故由3x+y=-5和x-2y+4=0,解得 x=-2,y=1,可知a(-2,1)在直线x+y+a=0上,即-2+1+a=0,所以a=1,由x+y+1=0和2x+y-2=0可得c(3,-4),当过点c(3,-4)时,目标函数z=3x+y取得最大值,最大值为5.1.(2019池州模拟)若实数x,y满足x-y+10,x+y-20,x0,且2x+y-7c(x-3)恒成立,则c的取值范围是()a.-,53b.(-,2c.53,+d.2,+)【解析】选d.作出实数x,y满足x-y+10,x+y-20,x0对应的平面区域如图:由可行域可知x-31),因为直线y=-x+z与圆相切,所以点(0,1)到直线x+y-z=0的距离为1,即1=|1-z|2,因为z1,所以z-12=1,解得z=1+2.答案:1+2考点三简单线性规划的实际应用【典例】(2020蚌埠模拟)现在全国正在严格实施垃圾分类,经测算回收1吨废纸可以生产出0.8吨再生纸,可节约用水约100吨,节约用煤约1.2吨,回收1吨废铅蓄电池可生产再生铅约0.6吨,可节约用煤约0.8吨,节约用水约120吨,回收每吨废铅蓄电池的费用约0.9万元,回收1吨废纸的费用约为0.2万元.现用于回收废纸和废铅蓄电池的费用不超过18万元,在保证节约用煤不少于12吨的前提下,最多可节约用水约吨【解题导思】序号联想解题(1)由回收废纸、废铅蓄电池,想到分别设为回收x,y吨.(2)由费用不超过18万元,想到0.2x+0.9y18.(3)由节约用煤不少于12吨,想到1.2x+0.8y12.(4)由求节约用水,想到目标函数z=100x+120y【解析】设回收废纸x吨,回收废铅蓄电池y吨,可节约用水z吨,由已知条件可得0.2x+0.9y18,1.2x+0.8y12,x0,y0,z=100x+120y,作出不等式组表示的可行域,如图所示.y=-56x+z120,平移直线可得当直线过点a时,在y轴上的截距最大,即z最大,由图可得点a(90,0),此时z取得最大值为9 000.答案:9 000利用线性规划解决实际问题的一般步骤(1)审题:仔细阅读材料,抓住关键,准确理解题意,明确有哪些限制条件,借助表格或图形理清变量之间的关系.(2)设元:设问题中起关键作用的(或关联较多的)量为未知量,并列出相应的不等式组和目标函数.(3)作图:准确作出可行域,平移找点(最优解).(4)求解:代入目标函数求解(最大值或最小值).(5)检验:根据结果,检验反馈.(2020清华附中模拟)a,b两个居民小区的居委会欲组织本小区的中学生,利用双休日去市郊的敬老院参加献爱心活动.两个小区每位同学往返车费及服务老人的人数如表:a小区b小区往返车费3元5元服务老人的人数5人3人根据安排,去敬老院的往返总车费不能超过37元,且b小区参加献爱心活动的同学比a小区的同学至