2021版高考数学一轮复习 第八章 数列 8.5.2 数列与函数、不等式的综合问题练习 理 北师大版

8.5.2 数列与函数、不等式的综合问题核心考点精准研析考点一数列与函数的综合1.设an是等比数列,函数y=x2-x-2 021的两个零点是a2,a3,则a1a4等于 ()a.2 021b.1c.-1d.-2 0212.在各项都为正数的数列an中,首项a1=2,且点(an2,an-12)在直线x-9y=0上,则数列an的前n项和sn等于()a.3n-1b.1-(-3)n2c.1+3n2d.3n2+n23.已知f(x)=2sin 2x,集合m=x|f(x)|=2,x0,把m中的元素从小到大依次排成一列,得到数列an,nn*.数列an的通项公式为_.4.已知函数f(x)=log2x,若数列an的各项使得2,f(a1),f(a2),f(an),2n+4成等差数列,则数列an的前n项和sn=_. 【解析】1.选d.由题意a2,a3是x2-x-2 021=0的两根.由根与系数的关系得a2a3=-2 021.又a1a4=a2a3,所以a1a4=-2 021.2.选a.由点(an2,an-12)在直线x-9y=0上,得an2-9an-12=0,即(an+3an-1)(an-3an-1)=0,又数列an各项均为正数,且a1=2,所以an+3an-10,所以an-3an-1=0,即anan-1=3,所以数列an是首项a1=2,公比q=3的等比数列,其前n项和sn=2(1-3n)1-3=3n-1.3.因为|f(x)|=2,所以2x=k+2,kz,x=2k+1,kz.又因为x0,所以an=2n-1(nn*).答案:an=2n-1(nn*)4.设等差数列的公差为d,则由题意,得2n+4=2+(n+1)d,解得d=2,于是log2a1=4,log2a2=6,log2a3=8,从而a1=24,a2=26,a3=28,.易知数列an是等比数列,其公比q=a2a1=4,所以sn=24(4n-1)4-1=163(4n-1).答案:163(4n-1)1.将题2改为已知函数f(x)=x的图像过点(4,2),令an=1f(n+1)+f(n),nn*.记数列an的前n项和为sn,则s2 021等于()a.2 020 -1b.2 021 -1c.2 022 -1d.2505+1【解析】选c.由f(4)=2可得4=2,解得=12,则f(x)=x12 .所以an=1f(n+1)+f(n)=1n+1+n=n+1-n,s2 021=a1+a2+a3+a2 021=(2-1)+(3-2)+(4-3)+(2 021-2 020)+(2 022-2 021)=2 022-1.2.数列an的通项an=ncos2n4-sin2n4,其前n项和为sn,则s40为()a.10b.15c.20d.25【解析】选c.由题意得,an=ncos2n4-sin2n4=ncosn2,则a1=0,a2=-2,a3=0,a4=4,a5=0,a6=-6,a7=0,于是a2n-1=0,a2n=(-1)n2n,则s40=(a1+a3+a39)+(a2+a4+a6+a40)=-2+4-+40=20.数列与函数综合问题的主要类型及求解策略(1)已知函数条件,解决数列问题,此类问题一般利用函数的性质、图像研究数列问题.(2)已知数列条件,解决函数问题,解决此类问题一般要利用数列的通项公式、前n项和公式、求和方法等对式子化简变形.注意数列与函数的不同,数列只能看作是自变量为正整数的一类函数,在解决问题时要注意这一特殊性.【秒杀绝招】特例法解t2:由题意(a22,a12 )在直线x-9y=0上,所以a229a12=0,因为a1=2,易得a2=6,所以s2=8.验证四个选项可排除bcd.考点二数列与不等式的综合【典例】已知数列an的前n项和为sn,且满足a1=12,an=-2snsn-1(n2). (1)求数列an的通项公式an.(2)求证:s12+s22+sn212-14n.【解题导思】序号题目拆解(1)an=-2snsn-1(n2)利用an=sn-sn-1将an=-2snsn-1转化为sn,sn-1的关系求数列an的通项公式an先求出1sn,利用an=-2snsn-1进而求得an.(2)求证:s12+s22+sn212-14n.由(1)得sn=12n,由sn2=14n214n(n-1),放缩后利用裂项相消法求和是解题的关键【解析】(1)因为an=-2snsn-1(n2),所以sn-sn-1=-2snsn-1.两边同除以snsn-1,得1sn-1sn-1=2(n2),所以数列1sn是以1s1=1a1=2为首项,以d=2为公差的等差数列,所以1sn=1s1+(n-1)d=2+2(n-1)=2n,所以sn=12n.将sn=12n代入an=-2snsn-1,得an=12(n=1),12n-2n2(n2).(2)因为sn2=14n214n(n-1)=141n-1-1n(n2),s12=14,所以当n2时,s12+s22+sn2=14+1422+14nn14+141-12+141n-1-1n=12-14n;当n=1时,s12=14=12-141.综上,s12+s22+sn212-14n.数列与不等式的综合问题(1)判断数列问题的一些不等关系,可以利用数列的单调性比较大小或借助数列对应的函数的单调性比较大小.(2)以数列为载体,考查不等式恒成立的问题,此类问题可转化为函数的最值.(3)考查与数列有关的不等式证明问题,此类问题一般采用放缩法进行证明,有时也可通过构造函数进行证明.已知数列an满足a1=1,an+1=3an+1.(1)证明:an+12是等比数列,并求an的通项公式.(2)证明:1a1+1a2+1an32.【解析】(1)由an+1=3an+1得an+1+12=3an+12.又a1+12=32,所以an+12是首项为32,公比为3的等比数列.所以an+12=3n2,因此an的通项公式为an=3n-12.(2)由(1)知1an=23n-1.因为当n1时,3n-123n-1,所以13n-1123n-1.于是1a1+1a2+1an1+13+13n-1=321-13n32.所以1a1+1a2+1an32.考点三数列与函数、不等式的综合应用命题精解读1.考什么:(1)考查求最值、比较大小、求取值范围等问题.(2)考查数学运算、逻辑推理的核心素养及 函数与方程、转化与化归等思想方法.2.怎么考:以数列为载体,考查利用函数的性质、图像或不等式的性质进行放缩、比较大小、求范围或最值、证明结论等.3.新趋势:与函数、不等式综合问题的考查学霸好方法1.求最值(或取值范围)问题的解题思路先构造数列对应的函数y=f(x),x(0,+).再由以下方法求最值:(1)利用函数的单调性(2)利用均值不等式(3)利用导数注意是在正整数内讨论的.2.交汇问题与函数、不等式交汇时,依据函数或不等式的性质求解.求最值问题【典例】1.在等差数列an中,若a10,sn为其前n项和且s7=s17,则sn最小时的n的值为()a.12或13b.11或12c.11d.122.在正项等比数列an中,3为a6与a14的等比中项,则a3+3a17的最小值为()a.23b.89c.6d.3【解析】1.选d.由s7=s17,依据二次函数对称性知当n=12时,sn最小.2.选c.因为an是正项等比数列,且3为a6与a14的等比中项,所以a6a14=3=a3a17,则a3+3a17=a3+33a32a333a3=6,当且仅当a3=3时,等号成立,所以a3+3a17的最小值为6.求等差数列前n项和的最值常用的方法有哪些?提示:(1)利用等差数列的单调性,求出最值;(2)利用性质求出其正负转折项,便可求得和的最值;(3)将等差数列的前n项和sn=an2+bn(a,b为常数)看作二次函数,根据二次函数的性质求最值.比较大小【典例】数列an是各项均为正数的等比数列,bn是等差数列,且a6=b7,则有 ()a.a3+a9b4+b10b.a3+a9b4+b10c.a3+a9b4+b10d.a3+a9与b4+b10的大小不确定【解析】选b.因为a3+a92a3a9=2a62=2a6=2b7=b4+b10,当且仅当a3=a9时取等号.本题利用均值不等式比较两个式子的大小,恰到好处.利用均值不等式a+b2ab时一定要满足其成立的三个条件分别是什么?提示:(1)a,b均为正数.(2)a,b的和或积必须有一个为定值.(3)a=b时等号成立.求取值范围问题【典例】设数列an的通项公式为an=2n-1,记数列1anan+1的前n项和为tn,若对任意的nn*,不等式4tna2-a恒成立,则实数a的取值范围为_.【解析】因为an=2n-1,所以1anan+1=1(2n-1)(2n+1)=1212n-1-12n+1,所以tn=121-13+13-15+12n-1-12n+1=121-12n+112,又4tn0,解得,q=12,因为存在两项am,an使得8aman=a1,所以64a12qm+n-2=a12,整理,得m+n=8,所以9m+1n=18(m+n)9m+1n=1810+mn+9nm1810+2mn9nm=2,当且仅当mn=9nm时取等号,此时m,nn*,又m+n=8,所以只有当m=6,n=2时,9m+1n取得最小值是2.答案:22.已知数列an的前n项和为sn,点(n,sn+3)(nn*)在函数y=32x的图像上,等比数列bn满足bn+bn+1=an(nn*),其前n项和为tn,则下列结论正确的是 ()a.sn=2tnb.tn=2bn+1c.tnand.tn1,则()a.a1a3,a2a3,a2a4c.a1a4d.a1a3,a2a4【解析】选b.因为ln xx-1(x0),所以a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)a1+a2+a3-1,所以a4=a1q3-1.由a11,得q1,所以ln(a1+a2+a3)0,矛盾.因此-1q0,