2021版高考数学一轮复习 核心素养测评九 幂函数与二次函数 理 北师大版

核心素养测评九 幂函数与二次函数(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.已知幂函数f(x)=(n2+2n-2)xn2-3n(nz)的图像关于y轴对称,且在(0,+)上是减函数,则n的值为()a.-3b.1c.2d.1或2【解析】选b.由于f(x)为幂函数,所以n2+2n-2=1,解得n=1或n=-3,经检验只有n=1符合题意.2.(2020成都模拟)已知幂函数f(x)=x,当x1时,恒有f(x)1时,恒有f(x)1时,函数f(x)=x的图像在y=x的图像的下方,由幂函数的图像与性质可判断0)上的最大值为4,最小值为3,则实数m的取值范围是()a.1,2b.(0,1c.(0,2d.1,+)【解析】选a.作出函数的图像如图所示,从图中可以看出当1m2时,函数f(x)=x2-2x+4在区间0,m(m0)上的最大值为4,最小值为3.4.(2020淮安模拟)已知点(m,8)在幂函数f(x)=(m-1)xn的图像上,设a=f1312,b=f(ln ),c=f-12,则a,b,c的大小关系为()a.cabb.abcc.bcad.bac【解析】选a.根据题意,m-1=1,所以m=2,所以2n=8,所以n=3,所以f(x)=x3.因为f(x)=x3是定义在r上的增函数,又-1201312130=1ln ,所以ca0,二次函数f(x)=ax2+bx+c的图像可能是()【解析】选d.由a,c,d知,f(0)=c0,所以ab0,知a、c错误,d符合要求.由b知f(0)=c0,所以ab0,所以x=-b2a0,b错误.6.(2020南昌模拟)已知正实数a,b,c满足loga2=2,log3b=13,c6=172,则a,b,c的大小关系是()a.abcb. acbc.cbad. bac【解析】选b.由题得a2=2,所以a6=8,b=313,所以b6=32=9,因为81729,a,b,c都是正数,所以ac4ac;2a-b=1;a-b+c=0;5a0,即b24ac,正确.对称轴为x=-1,即-b2a=-1,2a-b=0,错误.结合图像,当x=-1时,y0,即a-b+c0,错误.由对称轴为x=-1知,b=2a.又函数图像开口向下,所以a0,所以5a2a,即5ab,正确.二、填空题(每小题5分,共15分)8.若幂函数y=mxn(m,nr)的图像经过点8,14,则n=_.【解析】由题意可得m=1,8n=14,解得n=-23.答案:-239.若f(x)=x是幂函数,且满足f(4)f(2)=3,则f(12)=_.【解析】因为f(x)=x,则有42=3,解得2=3,=log23,所以f12=12=12log23=2-log23=2log213=13.答案:1310.已知函数f(x)=x12,0xc,x2+x,-2x0.那么f(x)的零点是_;若f(x)的值域是-14,2,则c的取值范围是_.【解析】当0xc时,由x12=0得x=0.当-2x0时,由x2+x=0,得x=-1,所以函数f(x)的零点为-1和0.当0xc时,f(x)=x12,所以0f(x)c;当-2x0时,f(x)=x2+x=x+122-14,所以此时-14f(x)2.若f(x)的值域是-14,2,则有c2,即0bc,a+b+c=0,集合a=m|f(m)0b.ma,都有f(m+3)0c.ma,使得f(m+3)=0d.ma,使得f(m+3)bc,a+b+c=0可知a0,c0,且f(1)=0,f(0)=c1时,f(x)0.由ab,得1ba,设方程ax2+bx+c=0的另一个根为x1,则x1+1=-ba-1,即x1-2,由f(m)0可得-2m1,所以1m+30.3.(5分)(2019抚州模拟)若对任意的xa,a+2,均有(3x+a)38x3,则a的取值范围是_.【解析】因为对任意的xa,a+2,均有(3x+a)38x3,函数y=x3在r上单调递增,所以3x+a2x在xa,a+2上恒成立,即x+a0,所以a+2+a0,得到a-1.答案:(-,-14.(10分)函数y=f(x)的图像如图所示,该图像由指数函数f(x)=ax与幂函数g(x)=xb“拼接”而成.(1)求f(x)的解析式.(2)比较ab与ba的大小.(3)若(m+4)-b14.(2)因为ab=11612=122,ba=12116,指数函数y=12x单调递减,所以12212116,即abba.(3)由(m+4)-120,3-2m0,m+43-2m,解得-13m32,所以m的取值范围是-13,32.【变式备选】已知函数f(x)=x2+2ax+2,x-5,5.(1)当a=-1时,求函数f(x)的最大值和最小值.(2)求实数a的取值范围,使y=f(x)在区间-5,5上是单调函数.【解析】(1)当a=-1时,f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x-5,5,所以当x=1时,f(x)取得最小值1;当x=-5时,f(x)取得最大值37.(2)函数f(x)=(x+a)2+2-a2的图像的对称轴为直线x=-a,因为y=f(x)在区间-5,5上是单调函数,所以-a-5或-a5,即a-5或a5.故实数a的取值范围是(-,-55,+).5.(10分)已知函数f(x)=x-k2+k+2(kz)满足f(2)f(3).(1)求k的值并求出相应的f(x)的解析式.(2)对于(1)中得到的函数f(x),试判断是否存在q,使函数g(x)=1-qf(x)+(2q-1)x在区间-1,2上的值域为-4,178?若存在,求出q;若不存在,请说明理由.【解析】(1)因为f(2)0,解得-1k0时,因为4q2+14q-g(-1)=4q2+14q-(2-3q)=(4q-1)24q0