2021版高考数学一轮复习 核心素养测评五十一 利用空间向量求二面角与空间距离 理 北师大版

核心素养测评五十一 利用空间向量求二面角与空间距离1.如图所示,在直三棱柱abc-a1b1c1中,bac=90,ab=ac=aa1=1,d是棱cc1上的一点,p是ad的延长线与a1c1的延长线的交点,且pb1平面bda1.(1)求证:cd=c1d.(2)求二面角a-a1d-b的平面角的余弦值.(3)求点c到平面b1dp的距离.【解析】(1)连接ab1,交ba1于点o,连接od.因为b1p平面bda1,b1p平面ab1p,平面ab1p平面ba1d=od,所以b1pod.又因为o为b1a的中点,所以d为ap的中点.因为c1daa1,所以c1为a1p的中点.所以dc1=12aa1=12cc1,所以c1d=cd.(2)建立如图所示的空间直角坐标系a1-xyz,则b1(1,0,0),b(1,0,1),d0,1,12,所以a1b1=(1,0,0),a1b=(1,0,1),a1d=0,1,12.设平面ba1d的一个法向量为n=(x1,y1,z1).由a1bn=0,a1dn=0,得x1+z1=0,y1+12z1=0.令z1=2,则x1=-2,y1=-1,所以n=(-2,-1,2).又a1b1=(1,0,0)为平面aa1d的一个法向量,所以cos=na1b1|n|a1b1|=-231=-23.由图形可知二面角a-a1d-b为锐角,所以二面角a-a1d-b的平面角的余弦值为23.(3)因为c(0,1,1),d0,1,12,b1(1,0,0),p(0,2,0),所以cd=0,0,-12,db1=1,-1,-12,dp=0,1,-12.设平面b1dp的一个法向量为m=(x2,y2,z2).由db1m=0,dpm=0,得x2-y2-12z2=0,y2-12z2=0.令z2=2,则x2=2,y2=1,所以m=(2,1,2).所以点c到平面b1dp的距离d=|cdm|m|=13.2.(2020咸阳模拟)如图,在多面体abcde中,已知四边形bcde为平行四边形,平面abc平面acd,m为ad的中点,acbm,ac=bc=1,ad=4,cm=3.(1)求证:bc平面acd.(2)求二面角d-bm-e的余弦值.【解析】 (1)在mac中,因为ac=1,cm=3,am=2,所以ac2+cm2=am,所以由勾股定理的逆定理,得mcac,又acbm,bmcm=m,所以ac平面bcm,因为bc平面bcm,所以bcac,因为平面abc平面acd,且平面abc平面acd=ac,bc平面abc,所以bc平面acd.(2)因为bc平面acd,所以bccm.又bcac,mcac,故以点c为坐标原点,ca,cb,cm所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系c-xyz,所以a1,0,0,b0,1,0,m0,0,3,d-1,0,23,e-1,1,23,所以=0,-1,3,=-1,0,3,=-1,0,23.设平面dbm的法向量为m=x1,y1,z1.由得-y1+3z1=0,-x1+3z1=0,取z1=1,所以m=3,3,1.设平面ebm的法向量为n=x2,y2,z2.由得-y2+3z2=0,-x2+23z2=0.取z2=1,所以