2021版高考数学一轮复习 核心素养测评五十九 曲线与方程（含轨迹问题） 理 北师大版

核心素养测评五十九 曲线与方程（含轨迹问题）(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.动圆m经过双曲线x2-y23=1的左焦点且与直线x=2相切,则圆心m的轨迹方程是()a.y2=8xb.y2=-8xc.y2=4x d.y2=-4x【解析】选b.双曲线x2-y23=1的左焦点为f(-2,0),动圆m经过点f且与直线x=2相切,则圆心m到点f的距离和到直线x=2的距离相等,由抛物线的定义知轨迹是抛物线,其方程为y2=-8x.2.在平面直角坐标系中,已知两点a(3,1),b(-1,3),若点c满足=1+2(o为原点),其中1,2r,且1+2=1,则点c的轨迹是()a.直线b.椭圆c.圆d.双曲线【解析】选a.设c(x,y),则=(x,y),=(3,1),=(-1,3),因为=1+2,所以x=31-2,y=1+32,又因为1+2=1,所以化简得x+2y-5=0表示一条直线.3.已知点p是直线2x-y+3=0上的一个动点,定点m(-1,2),q是线段pm延长线上的一点,且|pm|=|mq|,则q点的轨迹方程是()a.2x+y+1=0b.2x-y-5=0c.2x-y-1=0d.2x-y+5=0【解析】选d.设q(x,y),则p为(-2-x,4-y),代入2x-y+3=0,得q点的轨迹方程为2x-y+5=0.4.在abc中,b(-2,0),c(2,0),a(x,y),给出abc满足的条件,就能得到动点a的轨迹方程.如表给出了一些条件及方程:条件方程abc周长为10c1:y2=25abc面积为10c2:x2+y2=4(y0)abc中,a=90c3:x29+y25=1(y0)则满足条件,的轨迹方程依次为()a.c3,c1,c2b.c1,c2,c3c.c3,c2,c1d.c1,c3,c2【解析】选a.abc的周长为10,即|ab|+|ac|+|bc|=10,又|bc|=4,所以|ab|+|ac|=6|bc|,此时动点a的轨迹为椭圆,与c3对应;abc的面积为10,所以12|bc|y|=10即|y|=5与c1对应;因为a=90,所以=(-2-x,-y)(2-x,-y)=x2+y2-4=0与c2对应.5.如图所示,在正方体abcd-a1b1c1d1的侧面ab1内有一动点p到直线a1b1与直线bc的距离相等,则动点p所在曲线的形状为 ()【解析】选c.由已知p到点b的距离等于到直线a1b1的距离,根据抛物线的定义可知,动点p的轨迹是以b为焦点,以a1b1为准线的过a的抛物线的一部分.二、填空题(每小题5分,共15分)6.由动点p向圆x2+y2=1引两条切线pa,pb,切点分别为a、b,apb=60,则动点p 的轨迹方程为_.【解析】设p(x,y),x2+y2=1的圆心为o,因为apb=60,op平分apb,所以opb=30,因为|ob|=1,obp为直角,所以|op|=2,所以x2+y2=4.答案:x2+y2=47.在平面直角坐标系中,动点p和点m(-2,0),n(2,0)满足|+=0,则动点p(x,y)的轨迹方程为_.【解析】把已知等式|+=0用坐标表示,得4(x+2)2+y2+4(x-2)=0,化简变形得y2=-8x.答案:y2=-8x8.若直线y=k(x+2)+4与曲线y=4-x2有两个交点,则实数k的取值范围是_.【解析】直线y=k(x+2)+4,当x=-2时,y=4,可得此直线恒过a(-2,4),曲线y=4-x2为圆心在坐标原点,半径为2的半圆,根据题意作出相应的图形,如图所示:当直线y=k(x+2)+4与半圆相切(切点在第一象限)时,圆心到直线的距离d=r,所以|4+2k|1+k2=2,即4k2+16k+16=4+4k2,解得:k=-34,当直线y=k(x+2)+4过点c时,将x=2,y=0代入直线方程得:4k+4=0,解得:k=-1,则直线与曲线有2个交点时k的取值范围为-1,-34.答案:-1,-34三、解答题(每小题10分,共20分)9.在平面直角坐标系中,已知a1(-2,0),a2(2,0),p(x,y),m(x,1),n(x,-2),若实数使得2omon=a1pa2p(o为坐标原点).求p点的轨迹方程,并讨论p点的轨迹类型.【解析】om=(x,1),on=(x,-2),a1p=(x+2,y),a2p=(x-2,y).因为2omon=a1pa2p,所以(x2-2)2=x2-2+y2,整理得(1-2)x2+y2=2(1-2).当=1时,方程为y=0,轨迹为一条直线;当=0时,方程为x2+y2=2,轨迹为圆;当(-1,0)(0,1)时,方程为x22+y22(1-2)=1,轨迹为中心在原点,焦点在x轴上的椭圆;当(-,-1)(1,+)时,方程为x22-y22(2-1)=1,轨迹为中心在原点,焦点在x轴上的双曲线.10.(2020成都模拟)已知长度为4的线段ab的两个端点a,b分别在x轴和y轴上运动,动点p满足=3,记动点p的轨迹为曲线c.(1)求曲线c的方程.(2)设不经过点h(0,1)的直线y=2x+t与曲线c相交于两点m,n.若直线hm与hn的斜率之和为1,求实数t的值.【解析】(1)设p(x,y),a(m,0),b(0,n),因为=3,所以(x,y-n)=3(m-x,-y)=(3m-3x,-3y),即x=3m-3xy-n=-3y ,所以m=43xn=4y ,因为|ab|=4,所以m2+n2=16,所以169x2+16y2=16,所以曲线c的方程为:x29+y2=1;(2)设m(x1,y1),n(x2,y2),由y=2x+tx29+y2=1 ,消去y得,37x2+36tx+9(t2-1)=0,由=(36t)2-4379(t2-1)0,可得-37t0得k215,所以0x83,所以顶点e的轨迹方程为x2+4y2-6x=00x83.5.(10分)设o为坐标原点,动点m在椭圆c:x22+y2=1上,过m作x轴的垂线,垂足为n,点p满足=2 .(1)求点p的轨迹方程;(2)设点q在直线x=-3上,且=1.证明:过点p且垂直于oq的直线l过c的左焦点f.【解析】(1)设p(x,y),m(x0,y0),则n(x0,0),=(x-x0,y),=(0,y0).由=2 ,得x0=x,y0=22y.因为m(x0,y0)在椭圆c上,所以x22+y22=1.因此点p的轨迹方程为x2+y2=2.(2)由题意知f(-1,0).设q(-3,t),p(m,n),则=(-3,t),=(-1-m,-n),=3+3m-tn,=(m,n),=(-3-m,t-n).由=1,得-3m-m2+tn-n2=1,又由(1)知m2+n2=2,故3+3m-tn=0.所以=0,即.又过点p存在唯一直线垂直于oq,所以过点p且垂直于oq的直线l过c的左焦点f.1.方程(x2-y2-1)x-y-1=0表示的曲线的大致形状是(图中实线部分) ()【解析】选b.原方程等价于x2-y2-1=0,x-y-10 或x-y-1=0,前者表示等轴双曲线x2-y2=1位于直线x-y-1=0下方的部分,后者为直线x-y-1=0,这两部分合起来即为所求b.2.方程|y|-1=3-(x-2)2所