2021版高考数学一轮复习 第十章 平面解析几何 10.4 直线与圆、圆与圆的位置关系练习 理 北师大版

10.4 直线与圆、圆与圆的位置关系核心考点精准研析考点一直线与圆的位置关系1.(2020马鞍山模拟)过点(3,6)的直线被圆x2+y2=25截得的弦长为8,这条直线的方程是()a.3x-4y+15=0b.3x+4y-33=0c.3x-4y+15=0或x=3d.3x+4y-33=0或x=32.若直线x+my=2+m与圆x2+y2-2x-2y+1=0相交,则实数m的取值范围为()a.(-,+)b.(-,0)c.(0,+)d.(-,0)(0,+)3.圆x2+y2-2x+4y=0与直线2tx-y-2-2t=0(tr)的位置关系为()a.相离b.相切c.相交d.以上都有可能4.圆(x-3)2+(y-3)2=9上到直线3x+4y-11=0的距离等于1的点的个数为()a.1b.2c.3d.4【解析】1.选c.圆心(0,0),r=5,圆心到弦的距离为25-16=3,若直线斜率不存在,则垂直x轴,直线为x=3,圆心到直线距离=|0-3|=3,成立;若斜率存在,设直线为y-6=k(x-3),即kx-y-3k+6=0,则圆心到直线距离|0-0-3k+6|k2+1=3,解得k=34,综上:x-3=0或3x-4y+15=0.2.选d.圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=1,圆心c(1,1),半径r=1.因为直线与圆相交,所以d=|1+m-2-m|1+m20或m0.3.选c.直线2tx-y-2-2t=0恒过点(1,-2),因为12+(-2)2-21+4(-2)=-50)相交于a、b两点,若两圆在a点处的切线互相垂直,且|ab|=4,则o1的方程为 ()a.(x-4)2+y2=20b.(x-4)2+y2=50c.(x-5)2+y2=20d.(x-5)2+y2=50【解题导思】序号联想解题1由两圆只有一条公切线联想到两圆相内切2由两圆关于x轴对称联想到圆心关于x轴对称3由两圆相交于a、b,且|ab|=4联想到相交弦的直线方程【解析】1.选d.由题意可知,圆c1的圆心为(-2a,0),半径为2,圆c2的圆心为(0,b),半径为1,因为两圆只有一条公切线,所以两圆内切,所以(-2a-0)2+(0-b)2=2-1,即4a2+b2=1.所以1a2+1b2=1a2+1b2(4a2+b2) =5+b2a2+4a2b25+2b2a24a2b2=9,当且仅当b2a2=4a2b2,且4a2+b2=1,即a2=16,b2=13时等号成立,所以1a2+1b2的最小值为9.2.选c.圆m的方程为:(x-3)2+(y+4)2=1,过m(3,-4)且与直线y=x+2垂直的直线方程为y=-x-1,代入(x-3)2+(y+4)2=1,得x=322,故当q到直线y=x+2的距离最小时,q的横坐标为x=3-22.3.选c.依题意,得o(0,0),r=5,o1(a,0),半径为r,两圆在a点处的切线互相垂直,则由切线的性质定理知:两切线必过两圆的圆心,如图,|oc|=|oa|2-|ac|2=1,oao1a,oo1ab,所以由直角三角形射影定理得:|oa|2=|oc|oo1|,即5=1|oo1|,所以|oo1|=5,r=|ao1|=22+42=25,由(a-0)2+(0-0)2=5,得a=5,所以,圆o1的方程为:(x-5)2+y2=20.1.判断两圆的位置关系时常用几何法,即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系,一般不采用代数法.2.若两圆相交,则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2,y2项得到.3.两圆公共弦长,在其中一圆中,由弦心距d,半弦长l2,半径r所在线段构成直角三角形,利用勾股定理求解.4.两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心.1.圆o1:x2+y2-2x=0和圆o2:x2+y2-4y=0的位置关系是()a.相离b.相交c.外切 d.内切【解析】选b.圆o1的圆心坐标为(1,0),半径长r1=1,圆o2的圆心坐标为(0,2),半径长r2=2,所以两圆的圆心距d=5,而r2-r1=1,r1+r2=3,则有r2-r1dr1+r2,所以两圆相交.2.已知两圆c1:x2+y2-2x-6y-1=0和c2:x2+y2-10x-12y+45=0.(1)求证:圆c1和圆c2相交.(2)求圆c1和圆c2的公共弦所在直线的方程和公共弦长.【解析】(1)圆c1的圆心为c1(1,3),半径r1=11,圆c2的圆心为c2(5,6),半径r2=4,两圆圆心距d=|c1c2|=5,r1+r2=11+4,|r1-r2|=4-11,所以|r1-r2|dr1+r2,所以圆c1和c2相交.(2)圆c1和圆c2的方程左、右两边分别相减,得4x+3y-23=0,所以两圆的公共弦所在直线的方程为4x+3y-23=0.圆心c2(5,6)到直线4x+3y-23=0的距离为|20+18-23|16+9=3,故公共弦长为216-9=27.考点三直线与圆的综合问题命题精解读1.考什么:(1)直线与圆的位置关系;(2)直线与圆相切、相交问题;(3)圆的性质.2.怎么考:以选择题和填空题为主,主要考查求切线方程、弦长问题.学霸好方法1.圆的切线方程常用结论(1)判断:圆心到直线的距离等于圆的半径;(2)切线:已知圆的圆心c,半径为r. 过点p作圆c的切线.条数:若点p在圆内,则无切线;若点p在圆上,则有且只有一条切线;若点p在圆外,则有两条切线;长度:切线长等于|pc|2-r2.2.直线与圆的位置关系的常用结论(1)当直线与圆相交时,由弦心距(圆心到直线的距离),弦长的一半及半径长所表示的线段构成一个直角三角形.(2)弦长公式|ab|=1+k2|xa-xb|=(1+k2)(xa+xb)2-4xaxb.圆的切线问题【典例】1.已知圆的方程为x2+y2=1,则在y轴上截距为2的切线方程为()a.y=x+2b.y=-x+2c.y=x+2或y=-x+2d.x=1或y=x+22.(2020惠州模拟)过点a(3,4)作圆c:(x-2)2+(y-3)2=2的切线l,则切线l的方程为_.【解析】1.选c.在y轴上截距为2且斜率不存在的直线显然不是切线,故设切线方程为y=kx+2,则|2|k2+1=1,所以k=1,故所求切线方程为y=x+2或y=-x+2.2.设切线l的方程为y=kx+b,点a(3,4)在切线l上,故4=3k+b.圆c:(x-2)2+ (y-3)2=2的圆心(2,3)到切线l的距离d=|2k+b-3|1+k2=2,可得|-k+1|1+k2=2,解得k=-1,故b=7,切线l的方程为x+y-7=0.答案:x+y-7=0求圆的切线方程时,应注意什么问题?提示:应注意切线斜率不存在的情况.圆的弦长问题【典例】1.直线x+3y-2=0与圆x2+y2=4相交于a,b两点,则弦ab的长为_.2.设圆x2+y2-2x-2y-2=0的圆心为c,直线l过(0,3)与圆c交于a,b两点,若|ab|=23,则直线l的方程为 ()a.3x+4y-12=0或4x-3y+9=0b.3x+4y-12=0或x=0c.4x-3y+9=0或x=0d.3x-4y+12=0或4x+3y+9=0【解析】1.因为圆x2+y2=4的圆心为点(0,0),半径r=2,所以圆心到直线x+3y- 2=0的距离d=|-2|2=1,所以弦长|ab|=24-1=23.答案:232.选b.当直线l的斜率不存在,即直线l的方程为x=0时,弦长为23,符合题意;当直线l的斜率存在时,可设直线l的方程为y=kx+3,由弦长为23,半径为2可知,圆心到该直线的距离为1,从而有|k+2|k2+1=1,解得k=-34,综上,直线l的方程为x=0或3x+4y-12=0.圆心到弦的距离如何求?提示:如图所示,设直线l被圆c截得的弦为ab,圆的半径为r,圆心到直线的距离为d,则有关系式:|ab|=2r2-d2.与弦长有关的范围问题【典例】1.若直线y=x+m与曲线y=1-x2有且只有一个公共点,则实数m的取值范围为()a.(-1,1-2b.-2,2c.-1,1)2d.(1,2【解析】选c.y=1-x2表示半圆,如图所示:因为直线y=x+m与曲线y=1-x2有且只有一个公共点,d=|m|12+(-1)2=1,解得m=2,m=-2(舍去)代入(-1,0)可得0=-1+m,m=1,代入(1,0)可得0=1+m,m=-1,结合图像,综上可得-1m1或m=2.2.已知点p是直线x+y+2=0上的动点,过p引圆x2+y2=1的切线,则切线长的最小值为_.【解析】圆x2+y2=1的圆心为(0,0),半径为1,要使切线长最小,则只需要点p到圆心的距离最小.此时最小值为圆心到直线的距离d=|0+0+2|1+1=2,此时切线长的最小值为2-1=1.答案:1解决与弦长有关的参数范围问题,用什么方法最直观?提示:数形结合的方法.1.已知直线3x+4y=b与圆x2+y2-2x-2y+1=0相切,则实数b=_.【解析】圆的标准方程即:(x-1)2+(y-1)2=1,由题意可得圆心(1,1)到直线3x+4y-b=0的距离为1,即|3+4-b|32+42=1,解得:b=2或b=12.答案:2或122.直线x-y-1=0与圆x2+y2=5交于a,b两点,则|ab|=_.【解析】根据题意,圆x2+y2=5的圆心为(0,0),半径为r=5,则圆心到直线x-y-1=0的距离为d=|-1|2=22,则|ab|=2r2-d2=32.答案:321.过点(0,1)的直线l被圆(x-1)2+y2=4所截得的弦长最短时,直线l的斜率为()a.1b.-1c.2d.-2【解析】选a.点(0,1)在圆(x-1)2+y2=4内,要使得过点(0,1)的直线l被圆(x-1)2+y2=4所截得的弦长最短,则该弦以(0,1)为中点,与圆心和(0,1)的连线垂直,而